西南交通大学 2026年高等代数第6题
📝 题目
6、设 $\displaystyle A=\beta \alpha^{\top}$ ，且 $\displaystyle \alpha^{\top} \beta=0$ ，求 $A$ 的特征值和特征子空间的一组基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析矩阵结构
已知 $A = \beta \alpha^{\top}$，其中 $\alpha, \beta$ 是 $n$ 维列向量，且 $\alpha^{\top} \beta = 0$。$A$ 是秩为1的矩阵（除非 $\beta=0$ 或 $\alpha=0$）。
提示：注意 $\alpha^{\top} \beta$ 是一个数，而 $\beta \alpha^{\top}$ 是一个 $n \times n$ 矩阵。
步骤 2/6
目标：计算 $A^2$ 并判断幂零性
计算 $A^2 = (\beta \alpha^{\top})(\beta \alpha^{\top}) = \beta (\alpha^{\top} \beta) \alpha^{\top}$。由于 $\alpha^{\top} \beta = 0$，所以 $A^2 = 0$。因此 $A$ 是幂零矩阵，指数为2。
公式：$A^2 = \beta (\alpha^{\top} \beta) \alpha^{\top}$
提示：注意矩阵乘法结合律，$\alpha^{\top} \beta$ 是标量，可以提到前面。
步骤 3/6
目标：推导特征值
幂零矩阵的特征值全为0。因为若 $\lambda$ 是特征值，则存在非零向量 $x$ 使 $A x = \lambda x$，两边左乘 $A$ 得 $A^2 x = \lambda A x = \lambda^2 x$，但 $A^2=0$，故 $\lambda^2=0$，所以 $\lambda=0$。因此 $A$ 的特征值全为0（$n$ 重）。
公式：$A^2=0 \Rightarrow \lambda^2=0 \Rightarrow \lambda=0$
提示：注意特征值重数：由于 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，特征多项式为 $\lambda^n$，所以0是 $n$ 重特征值。
步骤 4/6
目标：求解特征子空间
解齐次线性方程组 $A x = 0$，即 $\beta (\alpha^{\top} x) = 0$。分情况讨论：
- 若 $\beta \neq 0$，则 $\alpha^{\top} x = 0$，即 $x$ 与 $\alpha$ 正交。特征子空间为 $\alpha^{\perp} = \{ x \in \mathbb{R}^n \mid \alpha^{\top} x = 0 \}$，维数为 $n-1$。
- 若 $\beta = 0$，则 $A=0$，特征子空间为全空间 $\mathbb{R}^n$，维数为 $n$。
公式：$A x = 0 \iff \beta (\alpha^{\top} x) = 0$
提示：注意 $\beta$ 可能为零向量，此时 $A=0$，所有向量都是特征向量。
步骤 5/6
目标：求特征子空间的一组基
当 $\beta \neq 0$ 时，特征子空间是 $\alpha^{\top} x = 0$ 的解空间。设 $\alpha = (a_1, a_2, \dots, a_n)^{\top}$，则方程 $a_1 x_1 + a_2 x_2 + \dots + a_n x_n = 0$。取基础解系：例如，若 $a_1 \neq 0$，则取 $x_1 = -a_2/a_1, x_2=1, x_3=0,\dots,x_n=0$ 等，共 $n-1$ 个线性无关的解。这些解构成特征子空间的一组基。
提示：基础解系不唯一，但必须线性无关且个数等于 $n-1$。
步骤 6/6
目标：总结答案
综上，$A$ 的特征值全为0（$n$ 重）。特征子空间：若 $\beta \neq 0$，则为 $\alpha^{\perp}$，维数 $n-1$；若 $\beta=0$，则为全空间。一组基可通过解 $\alpha^{\top} x=0$ 得到。
提示：注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 可能为零向量的特殊情况。
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