西南交通大学 2026年高等代数第8题
📝 题目
8、设 $\displaystyle A, B \in M_{2}(R)$ 且 $\displaystyle (A, B)=\sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} a_{i j} b_{i j}$ ，取 $\displaystyle A_{1}=\left(\begin{array}{ll}1 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right), A_{2}=\left(\begin{array}{ll}0 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，令 $\displaystyle W=L\left(A_{1}, A_{2}\right)$ ，求 $\displaystyle W^{1}$ 的一组标正基．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定子空间W的表示
由 $A_1=\begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}$ 和 $A_2=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix}$ 张成的子空间 $W$ 中的任意矩阵可表示为 $x A_1 + y A_2 = \begin{pmatrix}x & x+y \\ y & y\end{pmatrix}$，其中 $x,y\in\mathbb{R}$。
提示：注意矩阵线性组合的系数对应位置。
步骤 2/7
目标：建立正交条件
设 $B=\begin{pmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\end{pmatrix}\in W^\perp$，则 $(B,A_1)=0$ 且 $(B,A_2)=0$。计算内积：$(B,A_1)=b_{11}+b_{12}=0$，$(B,A_2)=b_{12}+b_{21}+b_{22}=0$。
公式：$(A,B)=\sum_{i=1}^2\sum_{j=1}^2 a_{ij}b_{ij}$
提示：内积是矩阵对应元素乘积之和，注意下标对应。
步骤 3/7
目标：求解线性方程组得到W⊥的基
由 $b_{11}+b_{12}=0$ 得 $b_{11}=-b_{12}$；由 $b_{12}+b_{21}+b_{22}=0$ 得 $b_{22}=-b_{12}-b_{21}$。自由变量为 $b_{12},b_{21}$，取 $b_{12}=1,b_{21}=0$ 得 $B_1=\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$；取 $b_{12}=0,b_{21}=1$ 得 $B_2=\begin{pmatrix}0&0\\1&-1\end{pmatrix}$。则 $\{B_1,B_2\}$ 是 $W^\perp$ 的一组基。
提示：自由变量赋值时避免线性相关，通常取标准基向量。
步骤 4/7
目标：计算基向量的内积和范数
计算内积：$(B_1,B_1)=(-1)^2+1^2+0^2+(-1)^2=3$，$\|B_1\|=\sqrt{3}$；$(B_1,B_2)=(-1)\cdot0+1\cdot0+0\cdot1+(-1)\cdot(-1)=1$；$(B_2,B_2)=0^2+0^2+1^2+(-1)^2=2$，$\|B_2\|=\sqrt{2}$。
提示：内积计算时注意符号和零元素。
步骤 5/7
目标：Gram-Schmidt正交化第一步
令 $E_1 = \frac{B_1}{\|B_1\|} = \frac{1}{\sqrt{3}}\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$。
公式：$E_1 = \frac{B_1}{\|B_1\|}$
提示：单位化时注意分母有理化。
步骤 6/7
目标：Gram-Schmidt正交化第二步
计算投影：$(B_2,E_1)=\frac{(B_2,B_1)}{\|B_1\|}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，投影为 $\frac{1}{\sqrt{3}}E_1 = \frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix}$。令 $B_2' = B_2 - \text{proj}_{E_1}(B_2) = \begin{pmatrix}0&0\\1&-1\end{pmatrix} - \frac{1}{3}\begin{pmatrix}-1&1\\0&-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix}$。
公式：$B_2' = B_2 - (B_2,E_1)E_1$
提示：投影计算要准确，减法时注意矩阵对应元素。
步骤 7/7
目标：单位化得到标准正交基
计算 $B_2'$ 的范数：$(B_2',B_2') = \left(\frac{1}{3}\right)^2+\left(-\frac{1}{3}\right)^2+1^2+\left(-\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}+\frac{1}{9}+1+\frac{4}{9} = \frac{6}{9}+1 = \frac{5}{3}$，故 $\|B_2'\| = \sqrt{\frac{5}{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$。令 $E_2 = \frac{B_2'}{\|B_2'\|} = \frac{3}{\sqrt{15}}\begin{pmatrix}\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\\1&-\frac{2}{3}\end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{15}}\begin{pmatrix}1&-1\\3&-2\end{pmatrix}$。因此，$W^\perp$ 的一组标准正交基为 $\{E_1, E_2\}$。
公式：$E_2 = \frac{B_2'}{\|B_2'\|}$
提示：单位化时注意化简分数。
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