郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设矩阵 $A$ 的伴随矩阵 $A^{*}=\left(\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ ，若 $|A|>0$ ，且 $A B A^{-1}=B A^{-1}+2 E$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $B=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：由伴随矩阵求原矩阵的行列式
已知 $A^* = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，且 $|A|>0$。由 $AA^* = |A|E$ 得 $|A| = \det(A^*)$。计算 $\det(A^*) = 2 \times 8 \times 1 = 16$，所以 $|A| = 16$。又由 $|A^*| = |A|^{n-1} = |A|^2 = 16$，得 $|A| = 4$（取正根）。
公式：$AA^* = |A|E$, $|A^*| = |A|^{n-1}$
提示：注意 $|A|>0$ 的条件，取正根。
步骤 2/5
目标：由伴随矩阵求原矩阵
由 $AA^* = |A|E$ 得 $A = |A| (A^*)^{-1}$。计算 $(A^*)^{-1} = \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，所以 $A = 4 \cdot \begin{pmatrix} 1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/8 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$。
公式：$A = |A| (A^*)^{-1}$
提示：注意逆矩阵的计算，对角矩阵的逆为对角元素的倒数。
步骤 3/5
目标：化简矩阵方程
已知 $ABA^{-1} = BA^{-1} + 2E$。右乘 $A$ 得 $AB = B + 2A$，移项得 $AB - B = 2A$，即 $(A - E)B = 2A$。
公式：$ABA^{-1} = BA^{-1} + 2E \Rightarrow (A - E)B = 2A$
提示：注意矩阵乘法不交换，右乘 $A$ 时顺序不能错。
步骤 4/5
目标：计算 $A - E$ 及其逆
计算 $A - E = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$。其逆为 $(A - E)^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix}$。
公式：对角矩阵的逆
提示：注意 $A-E$ 的对角元素可能为负，逆矩阵对应元素取倒数。
步骤 5/5
目标：求解矩阵 $B$
由 $(A - E)B = 2A$ 得 $B = 2 (A - E)^{-1} A$。代入计算：$2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1/3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1/2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 2 \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 4/3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 8/3 \end{pmatrix}$。
公式：$B = 2 (A - E)^{-1} A$
提示：矩阵乘法顺序不能交换，注意对角矩阵相乘是对应元素相乘。
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