郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．若 $A$ 为 3 阶方阵，满足 $|A-E|=|A-2 E|=|A+E|=0$ ，其中 $E$ 为单位矩阵，则 $|A+3 E|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：由已知条件确定特征值
已知 $|A-E|=0$，$|A-2E|=0$，$|A+E|=0$。根据特征值的定义，若 $|A-\lambda E|=0$，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值。因此 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1$，$\lambda_2=2$，$\lambda_3=-1$。
公式：$|A-\lambda E|=0$ 是特征多项式，根为特征值。
提示：注意 $|A+E|=0$ 对应 $\lambda=-1$，因为 $|A-(-1)E|=0$。
步骤 2/3
目标：计算 $A+3E$ 的特征值
若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，则 $A+3E$ 的特征值为 $\lambda+3$。因此 $A+3E$ 的特征值为 $1+3=4$，$2+3=5$，$-1+3=2$。
公式：若 $A\mathbf{x}=\lambda\mathbf{x}$，则 $(A+3E)\mathbf{x}=(\lambda+3)\mathbf{x}$。
提示：注意 $E$ 是单位矩阵，特征值平移正确。
步骤 3/3
目标：计算行列式 $|A+3E|$
方阵的行列式等于其特征值的乘积。由于 $A+3E$ 是3阶方阵，其特征值为 $4,5,2$，所以 $|A+3E|=4\times5\times2=40$。
公式：$|B|=\prod_{i=1}^n \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $B$ 的特征值。
提示：确保特征值个数与阶数一致，且乘积正确。
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