郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．多项式 $\left(x^{3}-1\right) \mid\left(x^{n}-1\right)(n$ 为正整数）的充要条件是 $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：因式分解被除式
将 $x^3-1$ 因式分解为 $(x-1)(x^2+x+1)$。
公式：$x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$
提示：注意 $x^2+x+1$ 在实数范围内不可再分解，但在复数范围内可分解为 $(x-\omega)(x-\omega^2)$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3}$。
步骤 2/7
目标：转化为两个整除条件
由于 $x^3-1$ 与 $x^2+x+1$ 互素（因为 $x-1$ 与 $x^2+x+1$ 无公共根），所以 $(x^3-1) \mid (x^n-1)$ 当且仅当 $(x-1) \mid (x^n-1)$ 且 $(x^2+x+1) \mid (x^n-1)$。
提示：互素条件很重要，否则不能分解为独立条件。
步骤 3/7
目标：处理因子 $x-1$
由于 $x=1$ 是 $x^n-1$ 的根（因为 $1^n-1=0$），所以 $(x-1) \mid (x^n-1)$ 恒成立。
提示：这是显然的，但需注意 $n$ 为正整数。
步骤 4/7
目标：引入单位根处理 $x^2+x+1$
设 $\omega = e^{2\pi i/3}$，则 $\omega$ 和 $\omega^2$ 是 $x^2+x+1=0$ 的两个根，且满足 $\omega^3=1$，$\omega \neq 1$。
公式：$\omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$
提示：注意 $\omega$ 是3次本原单位根，$\omega^2 = \overline{\omega}$。
步骤 5/7
目标：转化为单位根条件
$(x^2+x+1) \mid (x^n-1)$ 当且仅当 $\omega$ 和 $\omega^2$ 都是 $x^n-1$ 的根，即 $\omega^n = 1$ 且 $(\omega^2)^n = 1$。由于 $(\omega^2)^n = \omega^{2n} = (\omega^n)^2$，所以只需 $\omega^n = 1$。
公式：$\omega^n = 1$
提示：注意 $\omega^2$ 的条件自动满足当 $\omega^n=1$，因为 $\omega^{2n} = (\omega^n)^2 = 1$。
步骤 6/7
目标：确定 $n$ 的条件
$\omega^n = 1$ 当且仅当 $3 \mid n$，因为 $\omega$ 的阶为3。
公式：$\omega^n = 1 \iff 3 \mid n$
提示：注意 $n$ 是正整数，$3 \mid n$ 表示 $n$ 是3的倍数。
步骤 7/7
目标：总结充要条件
综合以上，$(x^3-1) \mid (x^n-1)$ 的充要条件是 $3 \mid n$。
提示：最终答案：$3 \mid n$。
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