郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．与矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & 1\end{array}\right)$ 乘法可交换的所有实矩阵在实数域上对于矩阵加法和数乘构成一个线性空间 $V$ ，则 $V$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设未知矩阵并写出交换条件
设 $X = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix}$ 为与 $A$ 可交换的任意实矩阵，即满足 $AX = XA$。
公式：AX = XA
提示：注意矩阵乘法的顺序，不可交换顺序。
步骤 2/6
目标：计算 $AX$ 和 $XA$
计算 $AX$：
$AX = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ 10x_{11}+x_{21} & 10x_{12}+x_{22} & 10x_{13}+x_{23} \\ 10x_{21}+x_{31} & 10x_{22}+x_{32} & 10x_{23}+x_{33} \end{pmatrix}$。
计算 $XA$：
$XA = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ x_{31} & x_{32} & x_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 10 & 1 & 0 \\ 0 & 10 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{11}+10x_{12} & x_{12}+10x_{13} & x_{13} \\ x_{21}+10x_{22} & x_{22}+10x_{23} & x_{23} \\ x_{31}+10x_{32} & x_{32}+10x_{33} & x_{33} \end{pmatrix}$。
提示：矩阵乘法时注意行乘列，不要混淆。
步骤 3/6
目标：由 $AX=XA$ 列出方程
对应元素相等，得到9个方程：
(1) $x_{11} = x_{11}+10x_{12}$
(2) $x_{12} = x_{12}+10x_{13}$
(3) $x_{13} = x_{13}$
(4) $10x_{11}+x_{21} = x_{21}+10x_{22}$
(5) $10x_{12}+x_{22} = x_{22}+10x_{23}$
(6) $10x_{13}+x_{23} = x_{23}$
(7) $10x_{21}+x_{31} = x_{31}+10x_{32}$
(8) $10x_{22}+x_{32} = x_{32}+10x_{33}$
(9) $10x_{23}+x_{33} = x_{33}$
提示：注意每个方程对应矩阵的一个位置，不要遗漏。
步骤 4/6
目标：化简方程
由(1)得 $10x_{12}=0 \Rightarrow x_{12}=0$。
由(2)得 $10x_{13}=0 \Rightarrow x_{13}=0$。
由(4)得 $10x_{11}=10x_{22} \Rightarrow x_{11}=x_{22}$。
由(5)得 $10x_{12}=10x_{23}$，代入 $x_{12}=0$ 得 $x_{23}=0$。
由(6)得 $10x_{13}=0$，已满足。
由(7)得 $10x_{21}=10x_{32} \Rightarrow x_{21}=x_{32}$。
由(8)得 $10x_{22}=10x_{33} \Rightarrow x_{22}=x_{33}$。
由(9)得 $10x_{23}=0$，已满足。
(3)恒成立。
提示：注意 $x_{12}=0$ 和 $x_{13}=0$ 代入其他方程简化。
步骤 5/6
目标：确定自由变量
由化简结果：$x_{12}=0, x_{13}=0, x_{23}=0$，且 $x_{11}=x_{22}=x_{33}$，$x_{21}=x_{32}$，$x_{31}$ 自由。
令 $a = x_{11}$，$b = x_{21}$，$c = x_{31}$，则 $x_{22}=a$，$x_{33}=a$，$x_{32}=b$。
所以 $X$ 的形式为：
$X = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ b & a & 0 \\ c & b & a \end{pmatrix}$，其中 $a,b,c$ 为任意实数。
提示：注意 $x_{31}$ 是自由变量，没有约束。
步骤 6/6
目标：求线性空间的基和维数
所有这样的矩阵构成线性空间 $V$，其基可取：
$E_1 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$（对应 $a=1,b=0,c=0$），
$E_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$（对应 $a=0,b=1,c=0$），
$E_3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$（对应 $a=0,b=0,c=1$）。
这三个矩阵线性无关，且任意 $X$ 可表示为 $aE_1 + bE_2 + cE_3$，故维数为3。
提示：基的选取不唯一，但维数唯一。
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