郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $\sigma$ 是线性空间 $V$ 到 $W$ 的线性映射，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 是 $V$ 的一个基，$\eta_{1}, \eta_{2}$ 是 $W$ 的一个基，且 $\sigma$ 在 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}$ 与 $\eta_{1}, \eta_{2}$ 下的表示矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0\end{array}\right)$ ，则 $\sigma$ 的核空间 $\operatorname{Ker} \sigma=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解核空间定义
核空间 $\operatorname{Ker} \sigma$ 定义为 $\{ x \in V \mid \sigma(x) = 0 \}$，即所有被 $\sigma$ 映射为零向量的 $V$ 中向量构成的集合。
公式：\operatorname{Ker} \sigma = \{ x \in V \mid \sigma(x) = 0 \}
提示：注意核空间是 $V$ 的子空间，不是 $W$ 的子空间。
步骤 2/6
目标：建立坐标表示
设 $x = x_1 \varepsilon_1 + x_2 \varepsilon_2 + x_3 \varepsilon_3$，则 $\sigma(x)$ 在基 $\eta_1, \eta_2$ 下的坐标为 $A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}$，其中 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 3 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$。
公式：\sigma(x) = (\eta_1, \eta_2) A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}
提示：表示矩阵 $A$ 的列是基向量像的坐标，注意矩阵乘法顺序。
步骤 3/6
目标：转化为齐次线性方程组
由 $\sigma(x)=0$ 得 $A \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$，即线性方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + 3x_3 = 0 \\
-x_1 + 2x_2 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意方程组是齐次的，常数项全为零。
步骤 4/6
目标：求解方程组
由第二式得 $x_1 = 2x_2$。代入第一式：$2x_2 + x_2 + 3x_3 = 0$，即 $3x_2 + 3x_3 = 0$，故 $x_2 = -x_3$。从而 $x_1 = 2(-x_3) = -2x_3$。
提示：注意代入时要仔细，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：写出通解形式
令自由变量 $x_3 = t$（$t$ 为任意数），则解向量为 $\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2t \\ -t \\ t \end{pmatrix} = t \begin{pmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$。
提示：自由变量通常取为参数，注意解空间维数为1。
步骤 6/6
目标：表达核空间
因此 $\operatorname{Ker} \sigma = \{ x = x_1 \varepsilon_1 + x_2 \varepsilon_2 + x_3 \varepsilon_3 \mid (x_1, x_2, x_3)^T = t(-2, -1, 1)^T \}$，即 $\operatorname{Ker} \sigma = \operatorname{span}\{ -2\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3 \}$。
公式：\operatorname{Ker} \sigma = \operatorname{span}\{ -2\varepsilon_1 - \varepsilon_2 + \varepsilon_3 \}
提示：核空间由基向量张成，注意基向量是 $V$ 中的向量，不是坐标。
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