郑州大学 2026年高等代数第0题

方程组系数矩阵为 \[ A = \begin{pmatrix} a+b & a & \cdots & a \\ a & a+b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & a+b \end{pmatrix}_{n \times n} \]

将第2至第n行加到第1行，得 \[ \det(A) = \begin{vmatrix} na+b & na+b & \cdots & na+b \\ a & a+b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & a+b \end{vmatrix} = (na+b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ a & a+b & \cdots & a \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a & a & \cdots & a+b \end{vmatrix} \] 再将第1行乘以(-a)加到其余各行，得 \[ \det(A) = (na+b) \begin{vmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & b & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & b \end{vmatrix} = (na+b) b^{n-1} \]

方程组仅有零解当且仅当系数矩阵的行列式不为零，即 \[ \det(A) = (na+b) b^{n-1} \neq 0 \] 因此条件为： \[ b \neq 0 \quad \text{且} \quad na+b \neq 0 \]

方程组有非零解当且仅当系数矩阵的行列式为零，即 \[ \det(A) = (na+b) b^{n-1} = 0 \] 因此条件为： \[ b = 0 \quad \text{或} \quad na+b = 0 \]

当b=0时，方程组变为所有方程相同： \[ a x_1 + a x_2 + \cdots + a x_n = 0 \] 由于a≠0，等价于 \[ x_1 + x_2 + \cdots + x_n = 0 \] 基础解系含n-1个向量： \[ \xi_1 = (1, -1, 0, \ldots, 0)^T, \quad \xi_2 = (1, 0, -1, \ldots, 0)^T, \quad \ldots, \quad \xi_{n-1} = (1, 0, 0, \ldots, -1)^T \] 通解为 \[ x = k_1 \xi_1 + k_2 \xi_2 + \cdots + k_{n-1} \xi_{n-1} \] 其中k_1,…,k_{n-1}为任意常数。

当na+b=0时，即b=-na。由于a≠0，b≠0。系数矩阵的秩为n-1。方程组等价于所有方程相加得 \[ (na+b)(x_1+\cdots+x_n)=0 \] 但na+b=0，此式恒成立。实际上，将第2至第n个方程减去第一个方程，得 \[ b(x_i - x_1)=0 \quad (i=2,\ldots,n) \] 由于b≠0，故x_i=x_1。代入第一个方程得 \[ (a+b)x_1 + a(n-1)x_1 = (na+b)x_1 = 0 \] 所以x_1任意。因此通解为 \[ x = k (1,1,\ldots,1)^T \] 其中k为任意常数。