郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $\mathbb{R}^{4}$ 中，向量组
$$
\alpha_{1}=(1,0,-1,0), \alpha_{2}=(0,0,1,-1), \alpha_{3}=(1,-1,0,0)
$$
生成的子空间为 $V_{1}$ ．向量组
$$
\beta_{1}=(1,2,-1,2), \beta_{2}=(0,1,-1,0), \beta_{2}=(0,2,1,-1)
$$
生成的子空间为 $V_{2}$ ，求 $V_{1}+V_{2}$ 和 $V_{1} \cap V_{2}$ 的一个基和维数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定V1+V2的生成向量组
$V_1$ 由 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 生成，$V_2$ 由 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 生成。则 $V_1+V_2$ 由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \beta_1, \beta_2, \beta_3$ 生成。
提示：注意 $V_1+V_2$ 的生成元是两个子空间生成元的并集。
步骤 2/8
目标：将生成向量组构成矩阵并化为行最简形
将向量作为行构成矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
1 & -1 & 0 & 0 \\
1 & 2 & -1 & 2 \\
0 & 1 & -1 & 0 \\
0 & 2 & 1 & -1
\end{pmatrix}
$$
通过初等行变换化为行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
提示：行最简形中非零行的个数即为维数。注意行变换的正确性。
步骤 3/8
目标：得出V1+V2的基和维数
行最简形有4个非零行，所以 $\dim(V_1+V_2)=4$，且 $\mathbb{R}^4$ 的标准基 $e_1, e_2, e_3, e_4$ 是 $V_1+V_2$ 的一个基。
提示：当维数等于空间维数时，整个空间就是和空间。
步骤 4/8
目标：建立V1∩V2中向量的线性关系
设 $\alpha \in V_1 \cap V_2$，则存在系数 $x_1, x_2, x_3$ 和 $y_1, y_2, y_3$ 使得
$$
x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 = y_1 \beta_1 + y_2 \beta_2 + y_3 \beta_3.
$$
移项得
$$
x_1 \alpha_1 + x_2 \alpha_2 + x_3 \alpha_3 - y_1 \beta_1 - y_2 \beta_2 - y_3 \beta_3 = 0.
$$
提示：注意等式两边都是向量，需要代入坐标。
步骤 5/8
目标：代入坐标得到齐次线性方程组
将向量坐标代入，得到方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_3 - y_1 = 0 \\
- x_3 - 2y_1 - y_2 - 2y_3 = 0 \\
- x_1 + x_2 - y_1 + y_2 - y_3 = 0 \\
- x_2 - 2y_1 + y_3 = 0
\end{cases}
$$
提示：注意每个分量对应一个方程，不要遗漏。
步骤 6/8
目标：解齐次线性方程组
写出系数矩阵并化为行最简形：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 1 & -1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & -1 & -2 & -1 & -2 \\
-1 & 1 & 0 & -1 & 1 & -1 \\
0 & -1 & 0 & -2 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\xrightarrow{\text{初等行变换}}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
$$
取 $y_2, y_3$ 为自由变量。
提示：注意自由变量的选取，通常取非主元列对应的变量。
步骤 7/8
目标：求出V1∩V2的生成向量
令 $y_2=1, y_3=0$ 得一组解：$x_1=1, x_2=1, x_3=-1, y_1=0$；令 $y_2=0, y_3=1$ 得另一组解：$x_1=1, x_2=0, x_3=-1, y_1=-1$。于是 $V_1 \cap V_2$ 由向量 $\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3$ 和 $\alpha_1 - \alpha_3$ 生成。计算得：
$$
\alpha_1 + \alpha_2 - \alpha_3 = (0,1,0,-1),
$$
$$
\alpha_1 - \alpha_3 = (0,1,-1,0).
$$
提示：注意验证两个向量是否线性无关。
步骤 8/8
目标：得出V1∩V2的基和维数
向量 $(0,1,0,-1)$ 和 $(0,1,-1,0)$ 线性无关，所以 $\dim(V_1 \cap V_2) = 2$，且这两个向量构成一个基。
提示：维数等于基中向量的个数。
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