郑州大学 2026年高等代数第0题

3．已知 $\mathbb{R}^{3}$ 的线性变换 $\varphi$ 对于基 $\xi_{1}=(-1,0,2)^{\mathrm{T}}, \xi_{2}=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \xi_{3}=(3,-1,-6)^{\mathrm{T}}$ 的像为 $$ \varphi\left(\xi_{1}\right)=(-1,0,1)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{2}\right)=(0,-1,2)^{\mathrm{T}}, \varphi\left(\xi_{3}\right)=(-1,-1,3)^{\mathrm{T}} $$ （1）求 $\varphi$ 在基 $\xi_{1}, \xi_{2}, \xi_{3}$ 下的矩阵。 （2）设 $x=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ，求 $\varphi(x)$ ． （3）证明：$\xi_{1}-\xi_{3}, \xi_{2}, \xi_{1}+\xi_{2}+\xi_{3}$ 是 $\mathbb{R}^{3}$ 的基，并求 $\varphi$ 在该基下的矩阵。