郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设数域 $P$ 上 $n$ 阶方阵 $A, B, C, D$ 关于乘法两两可交换。且满足 $A C+B D=E$（ $E$ 为单位矩阵），设
$$
V=\left\{X \in P^{n} \mid A B X=0\right\}, V_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A X=0\right\}, V_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid B X=0\right\} .
$$
证明：$V=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$
任取 $X \in V_1 \cap V_2$，则 $AX=0$ 且 $BX=0$。由条件 $AC+BD=E$，两边右乘 $X$ 得 $(AC+BD)X = EX = X$。由于 $A,B,C,D$ 两两可交换，有 $ACX = A(CX) = C(AX)=C0=0$，$BDX = B(DX)=D(BX)=D0=0$，故 $X=0$。因此 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
公式：$AC+BD=E$
提示：注意交换性：$A(CX)=C(AX)$ 成立是因为 $A$ 与 $C$ 可交换。
步骤 2/4
目标：证明 $V \subseteq V_1 + V_2$
任取 $X \in V$，即 $ABX=0$。由 $AC+BD=E$ 得 $X = (AC+BD)X = A(CX) + B(DX)$。令 $Y = B(DX)$，则 $AY = A B (D X) = (AB) D X$。由于 $ABX=0$ 且 $D$ 与 $A,B$ 可交换，$ABDX = D(ABX)=0$，故 $AY=0$，即 $Y \in V_1$。令 $Z = A(CX)$，则 $BZ = B A (C X) = (BA) C X = A B C X$。由于 $ABX=0$ 且 $C$ 与 $A,B$ 可交换，$ABCX = C(ABX)=0$，故 $BZ=0$，即 $Z \in V_2$。因此 $X = Y+Z \in V_1+V_2$。
公式：$X = A(CX) + B(DX)$
提示：注意 $Y$ 和 $Z$ 的构造，以及利用交换性将 $ABDX$ 化为 $D(ABX)$。
步骤 3/4
目标：证明 $V_1 + V_2 \subseteq V$
任取 $X \in V_1 + V_2$，则存在 $X_1 \in V_1$，$X_2 \in V_2$ 使得 $X = X_1 + X_2$。计算 $ABX = AB(X_1+X_2) = ABX_1 + ABX_2$。由于 $AX_1=0$ 且 $A,B$ 可交换，$ABX_1 = B(AX_1)=0$；由 $BX_2=0$，$ABX_2 = A(BX_2)=0$，故 $ABX=0$，即 $X \in V$。
公式：无
提示：注意 $ABX_1 = B(AX_1)$ 利用了交换性。
步骤 4/4
目标：综合结论
由步骤1得 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，由步骤2和3得 $V = V_1 + V_2$，因此 $V = V_1 \oplus V_2$。
公式：无
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。