郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．设 $A$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，$\lambda$ 是 $A$ 的特征值．证明：
（1）$\lambda$ 的实部为 0 ．
（2）存在正交矩阵 $P$ ，使得 $P^{-1} A^{2} P$ 是对角矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\alpha \neq 0$，即 $A\alpha = \lambda \alpha$。
公式：A\alpha = \lambda \alpha
提示：确保特征向量非零。
步骤 2/6
目标：取共轭转置并利用反对称性
对 $A\alpha = \lambda \alpha$ 两边取共轭转置，得 $\overline{\alpha}^T A^T = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T$。由于 $A$ 是实反对称矩阵，$A^T = -A$，所以 $-\overline{\alpha}^T A = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T$。
公式：A^T = -A
提示：注意共轭转置的运算规则，实矩阵的共轭转置就是转置。
步骤 3/6
目标：右乘特征向量并代入
将 $-\overline{\alpha}^T A = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T$ 两边右乘 $\alpha$，得 $-\overline{\alpha}^T A \alpha = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T \alpha$。代入 $A\alpha = \lambda \alpha$，得 $-\overline{\alpha}^T (\lambda \alpha) = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T \alpha$，即 $-\lambda \overline{\alpha}^T \alpha = \overline{\lambda} \overline{\alpha}^T \alpha$。
提示：注意矩阵乘法的结合律。
步骤 4/6
目标：利用范数非零得到关系
由于 $\overline{\alpha}^T \alpha = \|\alpha\|^2 > 0$，两边除以 $\|\alpha\|^2$ 得 $-\lambda = \overline{\lambda}$，即 $\lambda + \overline{\lambda} = 0$，故 $\lambda$ 的实部为 $0$。
公式：\lambda + \overline{\lambda} = 0
提示：注意 $\overline{\alpha}^T \alpha$ 是正实数，可以约去。
步骤 5/6
目标：分析A^2的性质
由（1）知 $A$ 的特征值都是纯虚数或零，且 $A$ 是实矩阵，故特征值成共轭对出现。$A^2$ 是实对称矩阵，因为 $(A^2)^T = (A^T)^2 = (-A)^2 = A^2$。
公式：(A^2)^T = A^2
提示：实对称矩阵的定义：转置等于自身。
步骤 6/6
目标：正交对角化A^2
由于 $A^2$ 是实对称矩阵，根据实对称矩阵的正交对角化定理，存在正交矩阵 $P$ 使得 $P^{-1} A^2 P = P^T A^2 P$ 是对角矩阵。
公式：P^{-1} A^2 P = \text{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)
提示：正交矩阵满足 $P^{-1} = P^T$。
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