郑州大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a & 1 & 1 \\
1 & a & -1 \\
1 & -1 & a
\end{array}\right)
$$
是 3 阶实矩阵，证明：当 $a>2$ 时，对于任意一个 3 阶的正定矩阵 $B$ ，都有 $\operatorname{tr}(A B)>0$（其中 $\operatorname{tr}(A B)$为矩阵 $A B$ 的迹）。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定矩阵的分解将迹转化为合同矩阵的迹
设 $B$ 是任意3阶正定矩阵，则存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^T P$。于是
\[
\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(A P^T P) = \operatorname{tr}(P A P^T).
\]
记 $C = P A P^T$，则 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(C)$。
公式：B = P^T P, \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(P A P^T)
提示：注意迹的循环性质：$\operatorname{tr}(ABC) = \operatorname{tr}(BCA)$，这里 $A$ 和 $P^T P$ 相乘后利用循环性质得到 $P A P^T$。
步骤 2/5
目标：说明C是实对称矩阵
由于 $A$ 是实对称矩阵（$A^T = A$），且 $P$ 可逆，则 $C = P A P^T$ 也是实对称矩阵，因为 $C^T = (P A P^T)^T = P A^T P^T = P A P^T = C$。因此 $\operatorname{tr}(C)$ 等于 $C$ 的特征值之和。
公式：C^T = C
提示：注意矩阵转置的性质：$(P A P^T)^T = P A^T P^T$。
步骤 3/5
目标：证明A是正定矩阵（利用顺序主子式）
计算 $A$ 的顺序主子式：
\[
\Delta_1 = a > 0,
\]
\[
\Delta_2 = \begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix} = a^2 - 1 > 0 \quad (\text{因为 } a > 2 \Rightarrow a^2 > 4 > 1),
\]
\[
\Delta_3 = \det A = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & -1 \\ 1 & -1 & a \end{vmatrix}.
\]
计算行列式：
\[
\det A = a \begin{vmatrix} a & -1 \\ -1 & a \end{vmatrix} - 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ 1 & a \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & a \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = a(a^2 - 1) - (a + 1) + (-1 - a) = a^3 - a - 2a - 2 = a^3 - 3a - 2.
\]
因式分解：$a^3 - 3a - 2 = (a+1)^2(a-2)$。当 $a > 2$ 时，$\det A > 0$。故 $A$ 的所有顺序主子式大于零，所以 $A$ 正定。
公式：\Delta_1 = a, \Delta_2 = a^2-1, \det A = (a+1)^2(a-2)
提示：计算三阶行列式时注意符号，按第一行展开。因式分解时注意立方项的处理。
步骤 4/5
目标：利用合同变换保持正定性
由于 $A$ 正定，且 $P$ 可逆，则 $C = P A P^T$ 也是正定矩阵（合同变换保持正定性）。正定矩阵的特征值全为正数。
公式：若A正定，P可逆，则PAP^T正定
提示：合同变换不改变惯性指数，因此正定性保持不变。
步骤 5/5
目标：得出迹大于零的结论
正定矩阵 $C$ 的特征值全为正数，因此其特征值之和 $\operatorname{tr}(C) > 0$，即 $\operatorname{tr}(AB) > 0$。
公式：\operatorname{tr}(C) = \sum \lambda_i > 0
提示：迹等于特征值之和，正定矩阵特征值全正。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。