重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．求多项式 $f(x)=4 x^{4}-2 x^{3}-16 x^{2}+5 x+9$ 与 $g(x)=2 x^{3}-x^{2}-5 x+4$ 的公共根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定求解方法
求两个多项式的公共根，即求它们的最大公因式的根。可以使用辗转相除法求最大公因式，或直接代入可能的根进行验证。
提示：注意辗转相除法中每一步的余式要正确处理系数。
步骤 2/7
目标：第一步辗转相除：用g(x)除f(x)
计算 $f(x) = 4x^4 - 2x^3 - 16x^2 + 5x + 9$ 除以 $g(x) = 2x^3 - x^2 - 5x + 4$。商为 $2x$，余式为 $r_1(x) = -6x^2 - 3x + 9$。即 $f(x) = 2x \cdot g(x) + (-6x^2 - 3x + 9)$。
公式：多项式除法：$f(x) = q(x)g(x) + r(x)$
提示：多项式除法时，注意对齐次数，并正确计算乘积和减法。
步骤 3/7
目标：第二步辗转相除：用r1(x)除g(x)
计算 $g(x) = 2x^3 - x^2 - 5x + 4$ 除以 $r_1(x) = -6x^2 - 3x + 9$。商为 $-\frac{1}{3}x$，余式为 $r_2(x) = -2x^2 - 2x + 4$。即 $g(x) = (-\frac{1}{3}x) \cdot r_1(x) + (-2x^2 - 2x + 4)$。
提示：除法时系数可能为分数，注意分数运算的准确性。
步骤 4/7
目标：第三步辗转相除：用r2(x)除r1(x)
计算 $r_1(x) = -6x^2 - 3x + 9$ 除以 $r_2(x) = -2x^2 - 2x + 4$。商为 $3$，余式为 $r_3(x) = 3x - 3$。即 $r_1(x) = 3 \cdot r_2(x) + (3x - 3)$。
提示：注意余式的次数应小于除式的次数。
步骤 5/7
目标：第四步辗转相除：用r3(x)除r2(x)
计算 $r_2(x) = -2x^2 - 2x + 4$ 除以 $r_3(x) = 3x - 3$。商为 $-\frac{2}{3}x$，余式为 $r_4(x) = -4x + 4$。即 $r_2(x) = (-\frac{2}{3}x) \cdot r_3(x) + (-4x + 4)$。
提示：继续除法直到余式为零或次数小于除式。
步骤 6/7
目标：第五步辗转相除：用r4(x)除r3(x)
计算 $r_3(x) = 3x - 3$ 除以 $r_4(x) = -4x + 4$。商为 $-\frac{3}{4}$，余式为 $0$。即 $r_3(x) = (-\frac{3}{4}) \cdot r_4(x) + 0$。因此最大公因式为 $r_4(x) = -4(x-1)$，等价于 $x-1$。
提示：最大公因式相差非零常数因子，取首项系数为1的因式。
步骤 7/7
目标：得出公共根
最大公因式为 $x-1$，所以公共根为 $x=1$。验证：$f(1)=4-2-16+5+9=0$，$g(1)=2-1-5+4=0$。
提示：代入验证确保正确。
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