重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．已知实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+5 x_{3}^{2}+2 a x_{1} x_{2}+2 b x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}(a>0)
$$
在正交变换下可化为 $y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+c y_{3}^{2}$ ．
（1）写出二次型对应的实对称矩阵 $A$ ，给出 $c$ 的值．
（2）求矩阵 $A-E$ 的秩，并求 $a, b$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型对应的实对称矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+2ax_1x_2+2bx_1x_3-8x_2x_3$ 对应的实对称矩阵 $A$ 满足 $f=\mathbf{x}^T A\mathbf{x}$，其中 $A$ 的对角线元素为平方项系数，非对角线元素为交叉项系数的一半。因此
$$A = \begin{pmatrix}
2 & a & b \\
a & 5 & -4 \\
b & -4 & 5
\end{pmatrix}.$$
公式：二次型与对称矩阵的对应关系
提示：注意交叉项系数 $2ax_1x_2$ 对应 $A_{12}=a$，$2bx_1x_3$ 对应 $A_{13}=b$，$-8x_2x_3$ 对应 $A_{23}=-4$。
步骤 2/8
目标：利用正交变换下的标准形确定特征值
已知在正交变换下 $f$ 可化为 $y_1^2+y_2^2+cy_3^2$，因此 $A$ 的特征值为 $1,1,c$。由特征值之和等于矩阵的迹：$1+1+c = \operatorname{tr}(A)=2+5+5=12$，解得 $c=10$。
公式：$\sum \lambda_i = \operatorname{tr}(A)$
提示：正交变换不改变特征值，标准形的系数即为特征值。
步骤 3/8
目标：利用特征值之积等于行列式建立方程
特征值之积等于矩阵的行列式：$1\cdot1\cdot10 = \det A = 10$。计算 $\det A$：
$$\det A = 2\cdot(5\cdot5-(-4)(-4)) - a\cdot(a\cdot5-(-4)b) + b\cdot(a\cdot(-4)-5b)$$
$$= 2(25-16) - a(5a+4b) + b(-4a-5b) = 18 -5a^2 -4ab -4ab -5b^2 = 18 -5a^2 -8ab -5b^2.$$
令 $18 -5a^2 -8ab -5b^2 = 10$，得 $5a^2+8ab+5b^2=8$。
公式：$\prod \lambda_i = \det A$
提示：计算行列式时注意符号，尤其是 $b$ 对应的项。
步骤 4/8
目标：利用特征值重数确定矩阵 $A-E$ 的秩
由于特征值 $1$ 的重数为2，$A-E$ 的特征值为 $0,0,9$，因此 $\operatorname{rank}(A-E)=1$。$A-E$ 为
$$A-E = \begin{pmatrix}
1 & a & b \\
a & 4 & -4 \\
b & -4 & 4
\end{pmatrix}.$$
公式：$\operatorname{rank}(A-\lambda I) = n - \text{几何重数}$
提示：注意 $A-E$ 的秩等于1意味着所有2阶子式为0。
步骤 5/8
目标：由秩为1导出 $a$ 的值
考虑 $A-E$ 的左上角2阶子式：
$$\begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 4 \end{vmatrix} = 4 - a^2 = 0,$$
解得 $a = \pm 2$。由题设 $a>0$，得 $a=2$。
公式：2阶子式为0
提示：注意 $a>0$ 的条件。
步骤 6/8
目标：代入 $a$ 求解 $b$
将 $a=2$ 代入 $5a^2+8ab+5b^2=8$，得 $20+16b+5b^2=8$，即 $5b^2+16b+12=0$。解得 $b=-2$ 或 $b=-\frac{6}{5}$。
公式：一元二次方程求根
提示：注意解方程的正确性。
步骤 7/8
目标：利用其他2阶子式为0筛选 $b$
考虑 $A-E$ 的另一个2阶子式：
$$\begin{vmatrix} 1 & b \\ b & 4 \end{vmatrix} = 4 - b^2.$$
当 $b=-2$ 时，$4-4=0$；当 $b=-\frac{6}{5}$ 时，$4-\frac{36}{25}=\frac{64}{25}\neq0$，与秩为1矛盾，故舍去 $b=-\frac{6}{5}$。因此 $b=-2$。
公式：子式为0条件
提示：必须验证所有2阶子式均为0，否则秩不为1。
步骤 8/8
目标：总结结果
综上，$c=10$，$a=2$，$b=-2$，$\operatorname{rank}(A-E)=1$。
提示：最终答案需明确。
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