重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
4．已知 $A$ 为 3 阶实对称矩阵，其特征值为 $\lambda_{1}=1, \lambda_{2}=-1, \lambda_{3}=0, \alpha_{1}=(1,2,2)^{\mathrm{T}}, \alpha_{2}=(2,1,-2)^{\mathrm{T}}$分别是特征值 $\lambda_{1}, \lambda_{2}$ 对应的特征向量，求矩阵 $A$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求特征值0对应的特征向量
由于 $A$ 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量正交。因此，特征值 $\lambda_3=0$ 对应的特征向量 $\alpha_3$ 与 $\alpha_1$ 和 $\alpha_2$ 都正交。设 $\alpha_3=(x_1,x_2,x_3)^T$，则
\[
\begin{cases}
\alpha_1^T \alpha_3 = x_1 + 2x_2 + 2x_3 = 0 \\
\alpha_2^T \alpha_3 = 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 0
\end{cases}
\]
解此方程组，得 $x_1 = 2x_3, x_2 = -2x_3$，取 $x_3=1$，得 $\alpha_3 = (2, -2, 1)^T$。
公式：正交条件：$\alpha_i^T \alpha_j = 0$ 当 $i \neq j$
提示：注意解方程组时，自由变量取非零值，通常取1简化计算。
步骤 2/5
目标：将特征向量单位化
将三个特征向量单位化：
\[
\beta_1 = \frac{\alpha_1}{\|\alpha_1\|} = \frac{1}{3}(1,2,2)^T, \quad
\beta_2 = \frac{\alpha_2}{\|\alpha_2\|} = \frac{1}{3}(2,1,-2)^T, \quad
\beta_3 = \frac{\alpha_3}{\|\alpha_3\|} = \frac{1}{3}(2,-2,1)^T.
\]
公式：单位化公式：$\beta = \frac{\alpha}{\|\alpha\|}$
提示：计算模长时注意平方和开方，确保分母正确。
步骤 3/5
目标：构造正交矩阵Q和对角矩阵Λ
令正交矩阵 $Q = (\beta_1, \beta_2, \beta_3)$，即
\[
Q = \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}
\end{pmatrix}
\]
对角矩阵 $\Lambda = \operatorname{diag}(1, -1, 0)$。
公式：实对称矩阵可正交对角化：$Q^T A Q = \Lambda$
提示：注意Q的列顺序与特征值顺序对应。
步骤 4/5
目标：计算QΛ
计算 $Q \Lambda$：
\[
Q \Lambda = \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 0 \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0
\end{pmatrix}.
\]
公式：矩阵乘法：$(Q\Lambda)_{ij} = \sum_k Q_{ik} \Lambda_{kj}$
提示：注意Λ是对角矩阵，乘法相当于Q的列乘以对应的特征值。
步骤 5/5
目标：计算A = QΛQ^T
计算 $A = (Q \Lambda) Q^T$：
\[
A = \begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & 0 \\
\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{3} & \frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
-\frac{1}{3} & 0 & \frac{2}{3} \\
0 & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\
\frac{2}{3} & \frac{2}{3} & 0
\end{pmatrix}.
\]
公式：正交对角化公式：$A = Q \Lambda Q^T$
提示：矩阵乘法注意顺序和分数运算，避免计算错误。
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