重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．设 $P^{2 \times 2}$ 中的矩阵
$$
G_{1}=\left(\begin{array}{cc}
a & 1 \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{2}=\left(\begin{array}{cc}
1 & a \\
1 & 1
\end{array}\right), G_{3}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
a & 1
\end{array}\right), G_{4}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
1 & a
\end{array}\right)
$$
讨论由 $G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}$ 生成的子空间 $L\left(G_{1}, G_{2}, G_{3}, G_{4}\right)$ 的维数并给出相应的一组基。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将矩阵转化为向量
将每个 $2\times 2$ 矩阵按行展开成 $P^4$ 中的向量：
$G_1 \mapsto (a,1,1,1)$,
$G_2 \mapsto (1,a,1,1)$,
$G_3 \mapsto (1,1,a,1)$,
$G_4 \mapsto (1,1,1,a)$.
则子空间 $L(G_1,G_2,G_3,G_4)$ 的维数等于向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4$ 的秩。
提示：注意矩阵与向量的对应关系，不要混淆行和列的顺序。
步骤 2/7
目标：构造矩阵并求行列式
构造矩阵 $A = \begin{pmatrix} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{pmatrix}$，则向量组的秩等于 $A$ 的秩。计算 $\det(A)$：
将第2、3、4列加到第1列，得
$$\det(A) = \begin{vmatrix} a+3 & 1 & 1 & 1 \\ a+3 & a & 1 & 1 \\ a+3 & 1 & a & 1 \\ a+3 & 1 & 1 & a \end{vmatrix} = (a+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \end{vmatrix}.$$
公式：行列式的性质：将一列的倍数加到另一列，行列式不变。
提示：注意提取公因子时，要确保每行或每列都有公因子。
步骤 3/7
目标：化简行列式
将第1行乘以-1加到其余各行，得
$$\det(A) = (a+3) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \end{vmatrix} = (a+3)(a-1)^3.$$
公式：上三角行列式等于对角线元素的乘积。
提示：注意行变换后，行列式值不变，但要注意符号变化。
步骤 4/7
目标：讨论行列式非零的情况
当 $a \neq -3$ 且 $a \neq 1$ 时，$\det(A) \neq 0$，矩阵 $A$ 满秩，秩为4。因此向量组线性无关，子空间维数为4，一组基可取 $G_1, G_2, G_3, G_4$ 本身。
提示：注意满秩意味着向量组线性无关，可直接作为基。
步骤 5/7
目标：讨论 a = -3 的情况
当 $a = -3$ 时，$\det(A)=0$，但 $a-1=-4 \neq 0$，所以 $A$ 的左上角3阶子式非零（例如前3行前3列构成的子式），秩为3。因此子空间维数为3，一组基可取 $G_1, G_2, G_3$（或任意三个线性无关的）。
提示：注意检查子式是否非零，确保所选向量组线性无关。
步骤 6/7
目标：讨论 a = 1 的情况
当 $a = 1$ 时，所有矩阵相同：$G_1=G_2=G_3=G_4 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$，故子空间维数为1，基为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意此时所有矩阵相等，线性相关，只生成一维子空间。
步骤 7/7
目标：总结
综上：
- 若 $a \neq 1$ 且 $a \neq -3$，维数为4，基为 $G_1, G_2, G_3, G_4$；
- 若 $a = -3$，维数为3，基为 $G_1, G_2, G_3$；
- 若 $a = 1$，维数为1，基为 $\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$。
提示：注意分类讨论要完整，不要遗漏情况。
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