重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．线性空间 $P^{3}$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的矩阵为
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & -1 & 1 \\
1 & 3 & -1 \\
1 & 1 & 1
\end{array}\right)
$$
向量 $\xi$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}$ 下的坐标为 $(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求 $\sigma(\xi)$ ．
（2）求 $\sigma$ 的特征值和特征向量．
（3）判断是否存在 $P^{3}$ 的一组基，使得 $\sigma$ 在这组基下的矩阵为对角矩阵。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算σ(ξ)的坐标
已知ξ在基下的坐标为(1,1,1)^T，则σ(ξ)的坐标为A乘以该坐标：
$$A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&-1&1\\1&3&-1\\1&1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-1+1\\1+3-1\\1+1+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\3\\3\end{pmatrix}.$$
公式：σ(ξ)的坐标 = A × ξ的坐标
提示：注意矩阵乘法顺序，坐标列向量右乘矩阵。
步骤 2/7
目标：写出σ(ξ)的表达式
因此σ(ξ)在基下的坐标为(1,3,3)^T，即
$$\sigma(\xi)=1\cdot\alpha_1+3\cdot\alpha_2+3\cdot\alpha_3.$$
提示：坐标与基的线性组合对应。
步骤 3/7
目标：求特征多项式
计算det(λI - A)：
$$\lambda I-A=\begin{pmatrix}\lambda-1&1&-1\\-1&\lambda-3&1\\-1&-1&\lambda-1\end{pmatrix}.$$
行列式展开：
$$\begin{aligned}\det(\lambda I-A)&=(\lambda-1)[(\lambda-3)(\lambda-1)+1]-[(-1)(\lambda-1)+1]-[1+(\lambda-3)]\\&=(\lambda-1)(\lambda^2-4\lambda+4)-(-\lambda+2)-(\lambda-2)\\&=(\lambda-1)(\lambda-2)^2+(\lambda-2)-(\lambda-2)\\&=(\lambda-1)(\lambda-2)^2.\end{aligned}$$
公式：det(λI - A) = (λ-1)(λ-2)^2
提示：行列式计算时注意符号，可先化简再展开。
步骤 4/7
目标：求特征值
令特征多项式为零，得特征值：
$$\lambda_1=1\quad(\text{单根}),\quad \lambda_2=2\quad(\text{二重根}).$$
提示：特征值包括重根。
步骤 5/7
目标：求λ=1的特征向量
解齐次线性方程组(I - A)x=0：
$$I-A=\begin{pmatrix}0&1&-1\\-1&-2&1\\-1&-1&0\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$
基础解系为(-1,1,1)^T，故特征向量为k(-1,1,1)^T，k≠0。
公式：(I - A)x = 0
提示：行变换要正确，注意自由变量的选取。
步骤 6/7
目标：求λ=2的特征向量
解(2I - A)x=0：
$$2I-A=\begin{pmatrix}1&1&-1\\-1&-1&1\\-1&-1&1\end{pmatrix}\xrightarrow{\text{行变换}}\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}.$$
基础解系为(-1,1,0)^T和(1,0,1)^T，故特征向量为k1(-1,1,0)^T+k2(1,0,1)^T，k1,k2不全为0。
公式：(2I - A)x = 0
提示：二重特征值可能有两个线性无关的特征向量，需检查基础解系个数。
步骤 7/7
目标：判断是否可对角化
特征值1的代数重数为1，几何重数为1（特征空间维数1）；特征值2的代数重数为2，几何重数为2（特征空间维数2）。每个特征值的几何重数等于代数重数，故σ可对角化，存在一组由特征向量组成的基使矩阵为对角矩阵。
公式：几何重数 = 代数重数 ⇔ 可对角化
提示：注意区分几何重数与代数重数，二重根需检查是否有两个线性无关的特征向量。
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