重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
7．给定线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}=1 \\
-x_{1}+x_{3}+3 x_{4}+x_{5}=a \\
x_{1}+2 x_{2}+3 x_{3}+5 x_{4}+3 x_{5}=3 \\
3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}-x_{4}+x_{5}=b
\end{array}\right.
$$
（1）当 $a, b$ 取何值时，方程组有解？
（2）当方程组有解时，求方程组的所有解．
（3）当方程组有解时，求所有解的极大线性无关组．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出增广矩阵并进行初等行变换
写出方程组的增广矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 0 & 1 & 3 & 1 & a \\
1 & 2 & 3 & 5 & 3 & 3 \\
3 & 2 & 1 & -1 & 1 & b
\end{pmatrix}
$$
进行初等行变换：
$R_2+R_1$, $R_3-R_1$, $R_4-3R_1$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 2 & a+1 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 2 & 2 \\
0 & -1 & -2 & -4 & -2 & b-3
\end{pmatrix}
$$
再 $R_3-R_2$, $R_4+R_2$ 得：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 2 & a+1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1-a \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & a+b-2
\end{pmatrix}
$$
提示：注意初等行变换的顺序和符号，避免计算错误。
步骤 2/6
目标：判断方程组有解的条件
方程组有解当且仅当系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。由阶梯形矩阵可知，最后两行对应方程：
$0 = 1-a$ 和 $0 = a+b-2$。
因此有解条件为：
$$
1-a = 0 \quad \text{且} \quad a+b-2 = 0
$$
解得 $a=1$, $b=1$。
公式：秩条件：$\text{rank}(A) = \text{rank}(A|b)$
提示：注意阶梯形中全零行对应的方程必须为恒等式，否则无解。
步骤 3/6
目标：代入a,b值化简增广矩阵
当 $a=1$, $b=1$ 时，增广矩阵化为：
$$
\begin{pmatrix}
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & 2 & 4 & 2 & 2 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
对应方程组：
$$
\begin{cases}
x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 1 \\
x_2 + 2x_3 + 4x_4 + 2x_5 = 2
\end{cases}
$$
提示：代入后注意检查矩阵是否化简正确。
步骤 4/6
目标：确定自由变量并求解
方程组有5个未知数，2个独立方程，故有3个自由变量。取 $x_3, x_4, x_5$ 为自由变量，令 $x_3 = c_1$, $x_4 = c_2$, $x_5 = c_3$。
由第二个方程得：
$x_2 = 2 - 2c_1 - 4c_2 - 2c_3$。
代入第一个方程得：
$x_1 = 1 - x_2 - x_3 - x_4 - x_5 = 1 - (2 - 2c_1 - 4c_2 - 2c_3) - c_1 - c_2 - c_3 = -1 + c_1 + 3c_2 + c_3$。
提示：注意回代时符号不要出错，特别是负号。
步骤 5/6
目标：写出通解形式
通解为：
$$
\begin{pmatrix}
x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \\ x_5
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
-1 \\ 2 \\ 0 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_1
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_2
\begin{pmatrix}
3 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \\ 0
\end{pmatrix}
+ c_3
\begin{pmatrix}
1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1
\end{pmatrix},
\quad c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R}
$$
提示：注意特解和基础解系要分开，自由变量对应的向量系数要正确。
步骤 6/6
目标：求所有解的极大线性无关组
所有解构成一个仿射空间，其方向空间由齐次方程组的解空间给出。齐次方程组的基础解系为：
$$
\xi_1 = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix},
\xi_2 = \begin{pmatrix}3 \\ -4 \\ 0 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix},
\xi_3 = \begin{pmatrix}1 \\ -2 \\ 0 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix}
$$
这三个向量线性无关，构成所有解的极大线性无关组（即方向空间的基）。
提示：极大线性无关组指的是齐次解空间的基，注意与特解区分。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。