重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
8．已知 $A$ 为数域 $P$ 上的 6 阶矩阵，$f(\lambda)=(\lambda-2)^{3}(\lambda+3)^{2}(\lambda-4)$ 为 $A$ 的特征多项式，$m(\lambda)= (\lambda-2)^{2}(\lambda+3)(\lambda-4)$ 为 $A$ 的最小多项式．
（1）求 $A$ 的所有不变因子．
（2）写出 $A$ 的 Jordan 标准形．
（3）写出 $A$ 的有理标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析特征多项式和最小多项式
特征多项式为 $f(\lambda)=(\lambda-2)^3(\lambda+3)^2(\lambda-4)$，最小多项式为 $m(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+3)(\lambda-4)$。最小多项式包含所有特征值，且每个特征值对应的Jordan块的最大阶数等于最小多项式中该因子的指数。
提示：注意最小多项式整除特征多项式，且每个特征值至少有一个Jordan块。
步骤 2/6
目标：确定每个特征值的Jordan块结构
对于特征值2：最小多项式指数为2，特征多项式指数为3，所以Jordan块的最大阶数为2，总阶数为3，因此有一个2阶块和一个1阶块。\
对于特征值-3：最小多项式指数为1，特征多项式指数为2，所以Jordan块的最大阶数为1，总阶数为2，因此有两个1阶块。\
对于特征值4：最小多项式指数为1，特征多项式指数为1，所以有一个1阶块。
提示：注意特征值-3的Jordan块个数由特征多项式指数决定，最小多项式指数为1意味着所有Jordan块都是1阶。
步骤 3/6
目标：求不变因子
设不变因子为 $d_1(\lambda),\ldots,d_6(\lambda)$，满足 $d_i|d_{i+1}$，且乘积为特征多项式，最后一个不变因子等于最小多项式。所以 $d_6(\lambda)=m(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+3)(\lambda-4)$。\
$d_1\cdots d_5 = f/d_6 = (\lambda-2)(\lambda+3)$。由于 $d_5|d_6$ 且次数至少为1，唯一可能是 $d_5(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)$，其余 $d_1=d_2=d_3=d_4=1$。
公式：不变因子满足 $d_1\cdots d_n = f(\lambda)$，$d_n = m(\lambda)$
提示：注意不变因子是首一多项式，且整除关系。
步骤 4/6
目标：写出Jordan标准形
根据Jordan块结构，Jordan标准形为：\
$$ J = \begin{pmatrix} 2 & 1 & & & & \\ 0 & 2 & & & & \\ & & 2 & & & \\ & & & -3 & & \\ & & & & -3 & \\ & & & & & 4 \end{pmatrix} $$
提示：注意Jordan块的对角线为特征值，次对角线为1。
步骤 5/6
目标：计算有理标准形的友块
有理标准形由非1的不变因子决定。$d_5(\lambda)=(\lambda-2)(\lambda+3)=\lambda^2+\lambda-6$，其友块为 $C(\lambda^2+\lambda-6)=\begin{pmatrix} 0 & 6 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$。\
$d_6(\lambda)=(\lambda-2)^2(\lambda+3)(\lambda-4)$，展开得 $\lambda^4-5\lambda^3-4\lambda^2+44\lambda-48$，其友块为 $\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 48 \\ 1 & 0 & 0 & -44 \\ 0 & 1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$。
公式：多项式 $\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_0$ 的友块为 $\begin{pmatrix} 0 & \cdots & 0 & -a_0 \\ 1 & \cdots & 0 & -a_1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & \cdots & 1 & -a_{n-1} \end{pmatrix}$
提示：注意友块的最后一行系数为负，且多项式为首一。
步骤 6/6
目标：写出有理标准形
有理标准形为两个友块组成的块对角矩阵：\
$$ R = \begin{pmatrix} 0 & 6 & & & & \\ 1 & -1 & & & & \\ & & 0 & 0 & 0 & 48 \\ & & 1 & 0 & 0 & -44 \\ & & 0 & 1 & 0 & 4 \\ & & 0 & 0 & 1 & 5 \end{pmatrix} $$
提示：注意块对角矩阵的排列顺序通常按不变因子次数递增。
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