重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
9．设 $m, n, q, r$ 为非负整数，且 $m=n q+r$ ，其中 $0 \leq r<n$ ．
（1）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=\left(x^{n}-1, x^{r}-1\right)$ ．
（2）证明：$\left(x^{m}-1, x^{n}-1\right)=x^{d}-1$ ，其中 $d=(m, n)$ 为 $m, n$ 的最大公因数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用带余除法将x^m-1表示为x^n-1与x^r-1的组合
由带余除法，$m = nq + r$，其中 $0 \leq r < n$。则 $x^m - 1 = x^{nq+r} - 1 = (x^{nq} - 1)x^r + (x^r - 1)$。由于 $x^{nq} - 1 = (x^n)^q - 1$ 能被 $x^n - 1$ 整除，故存在多项式 $Q(x)$ 使得 $x^m - 1 = (x^n - 1)Q(x) + (x^r - 1)$。
公式：$x^m - 1 = (x^n - 1)Q(x) + (x^r - 1)$
提示：注意 $x^{nq} - 1$ 能被 $x^n - 1$ 整除，因为 $a^q - 1 = (a-1)(a^{q-1}+\cdots+1)$。
步骤 2/7
目标：证明左边整除右边
设 $d(x) = (x^m-1, x^n-1)$。则 $d(x) \mid x^m-1$ 且 $d(x) \mid x^n-1$。由 $x^m-1 = (x^n-1)Q(x) + (x^r-1)$ 得 $d(x) \mid (x^r-1)$。因此 $d(x)$ 是 $x^n-1$ 和 $x^r-1$ 的公因式，故 $d(x) \mid (x^n-1, x^r-1)$。
提示：注意最大公因式整除任意公因式。
步骤 3/7
目标：证明右边整除左边
设 $e(x) = (x^n-1, x^r-1)$。则 $e(x) \mid x^n-1$ 且 $e(x) \mid x^r-1$。由 $x^m-1 = (x^n-1)Q(x) + (x^r-1)$ 得 $e(x) \mid x^m-1$。因此 $e(x)$ 是 $x^m-1$ 和 $x^n-1$ 的公因式，故 $e(x) \mid (x^m-1, x^n-1)$。
提示：注意线性组合保持整除性。
步骤 4/7
目标：结论(1)成立
由 $d(x) \mid e(x)$ 和 $e(x) \mid d(x)$ 得 $d(x) = e(x)$，即 $(x^m-1, x^n-1) = (x^n-1, x^r-1)$。
提示：最大公因式在相差非零常数倍下唯一，通常取首一多项式。
步骤 5/7
目标：应用欧几里得算法于指数
反复利用(1)的结论，将指数对 $(m,n)$ 进行辗转相除法：$(x^m-1, x^n-1) = (x^n-1, x^r-1) = (x^r-1, x^{r_1}-1) = \cdots$，直到余数为0。设最后一个非零余数为 $d$，则 $d = (m,n)$。
提示：辗转相除法中，余数指数逐渐减小，最终得到最大公因数。
步骤 6/7
目标：处理余数为0的情况
当余数为0时，即 $x^0-1 = 0$，此时 $(x^d-1, 0) = x^d-1$，因为任何多项式与0的最大公因式是它本身（取首一多项式）。
公式：$(f(x), 0) = f(x)$（首一化后）
提示：注意 $x^0-1 = 0$，不是 $x^0-1=0$ 吗？实际上 $x^0=1$，所以 $x^0-1=0$。
步骤 7/7
目标：结论(2)成立
因此，$(x^m-1, x^n-1) = x^d-1$，其中 $d = (m,n)$。
提示：最终结果是一个首一多项式，次数为 $d$。
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