重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
10．给定矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 3 & 1 & -2 \\
1 & -1 & 1 & 3 \\
4 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 5 & -1 & -8
\end{array}\right) .
$$
（1）证明：存在秩为 2 的 4 阶矩阵 $B$ ，满足 $A B=O$ ．
（2）证明：不存在秩为 3 的 4 阶矩阵 $C$ ，使得 $A C=O$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算矩阵A的秩
对矩阵A进行初等行变换：
$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \end{pmatrix}$$
交换第1行和第2行：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 3 \\ 2 & 3 & 1 & -2 \\ 4 & 1 & 3 & 4 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \end{pmatrix}$$
第2行减去2倍第1行，第3行减去4倍第1行：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \end{pmatrix}$$
第3行减去第2行，第4行减去第2行：
$$\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 3 \\ 0 & 5 & -1 & -8 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
因此，$\operatorname{rank}(A)=2$。
提示：初等行变换时注意不要出错，特别是减法运算。
步骤 2/5
目标：确定齐次方程组的解空间维数
齐次线性方程组 $Ax=0$ 的解空间维数为 $n - \operatorname{rank}(A) = 4 - 2 = 2$。设基础解系为 $\alpha_1, \alpha_2$，则所有解可表示为 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2$。
公式：解空间维数 = n - rank(A)
提示：注意n是未知数的个数，即矩阵A的列数。
步骤 3/5
目标：构造秩为2的矩阵B使得AB=O
取 $Ax=0$ 的两个线性无关的解向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 作为矩阵B的前两列，后两列取零向量，即 $B = (\alpha_1, \alpha_2, 0, 0)$。则 $AB = O$，且由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，$\operatorname{rank}(B)=2$。
提示：确保选取的解向量线性无关，否则B的秩可能小于2。
步骤 4/5
目标：证明不存在秩为3的矩阵C使得AC=O
假设存在秩为3的4阶矩阵C满足 $AC=O$。则C的每一列都是 $Ax=0$ 的解，因此所有列向量属于解空间。解空间维数为2，所以C的列向量组的秩 ≤ 2，与 $\operatorname{rank}(C)=3$ 矛盾。故不存在这样的C。
提示：注意矩阵的秩等于列向量组的秩，且解空间维数限制了列向量的最大线性无关个数。
步骤 5/5
目标：总结结论
（1）存在秩为2的4阶矩阵B满足 $AB=O$，例如取B的列由基础解系构成。（2）不存在秩为3的4阶矩阵C满足 $AC=O$，因为任何满足条件的矩阵C的秩不超过2。
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