重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
11．给定 2 维平面 $\mathbb{R}^{2}$ 上 3 条不同的直线
$$
L_{1}: a x+b y=c, L_{2}: b x+c y=a, L_{3}: c x+a y=b .
$$
证明：三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将问题转化为线性方程组
三条直线 $L_1: ax+by=c$, $L_2: bx+cy=a$, $L_3: cx+ay=b$ 相交于一点等价于方程组
\[
\begin{cases}
ax + by = c \\
bx + cy = a \\
cx + ay = b
\end{cases}
\]
有唯一解。
提示：注意三条直线不同，因此方程组不能有无穷多解（重合）或无解（平行或不相交）。
步骤 2/5
目标：将三个方程相加得到关系式
将三个方程相加得
\[
(a+b+c)x + (a+b+c)y = a+b+c,
\]
即
\[
(a+b+c)(x+y-1)=0.
\]
公式：(a+b+c)(x+y-1)=0
提示：相加时注意系数对应相加，不要漏项。
步骤 3/5
目标：必要性证明：假设相交，推出a+b+c=0
若三条直线交于一点，则存在 $(x,y)$ 满足三个方程，从而 $(a+b+c)(x+y-1)=0$。若 $a+b+c \neq 0$，则 $x+y=1$。将三个方程分别乘以 $c, a, b$ 并相加得
\[
(ac+ba+cb)x + (bc+ca+ab)y = c^2 + a^2 + b^2,
\]
即
\[
(ab+bc+ca)(x+y) = a^2+b^2+c^2.
\]
代入 $x+y=1$ 得 $ab+bc+ca = a^2+b^2+c^2$，即 $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0$，故 $a=b=c$。此时三条直线重合，与“三条不同的直线”矛盾。因此 $a+b+c=0$。
公式：ab+bc+ca = a^2+b^2+c^2
提示：注意反证法：假设a+b+c≠0，推出a=b=c，导致直线重合，矛盾。
步骤 4/5
目标：充分性证明：假设a+b+c=0，求交点
若 $a+b+c=0$，则 $c = -a-b$。代入三个方程得
\[
\begin{cases}
ax + by = -a-b \\
bx + (-a-b)y = a \\
(-a-b)x + ay = b
\end{cases}
\]
将第一个方程乘以 $b$，第二个方程乘以 $a$，相减得
\[
(ab - ab)x + (b^2 + a(a+b))y = b(-a-b) - a^2,
\]
即 $(a^2+ab+b^2)y = -ab - b^2 - a^2$，故 $y = -1$（因为 $a^2+ab+b^2 \neq 0$，否则 $a=b=0$ 导致直线退化）。类似可得 $x=1$。因此点 $(1,-1)$ 满足所有方程，即三条直线交于一点。
公式：y = -1, x = 1
提示：注意分母 $a^2+ab+b^2$ 不为零，否则 $a=b=0$ 导致直线方程退化（不是直线）。
步骤 5/5
目标：总结结论
综上，三条直线相交于一点当且仅当 $a+b+c=0$。
提示：注意题目条件“三条不同的直线”，因此排除了重合情况。
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