重庆市统考 2026年高等代数第0题

设 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \dots, \varepsilon_n$ 是 $V$ 的一组基，线性变换 $\varphi$ 在该基下的矩阵为 $A$。即对任意 $\alpha = \sum_{i=1}^n x_i \varepsilon_i \in V$，有 $\varphi(\alpha) = (\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n) A \mathbf{x}$，其中 $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n)^T$。

$\alpha \in \operatorname{Ker} \varphi$ 当且仅当 $\varphi(\alpha)=0$，即 $(\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n) A \mathbf{x} = 0$。由于 $\varepsilon_1, \dots, \varepsilon_n$ 线性无关，这等价于 $A \mathbf{x} = \mathbf{0}$。因此 $\operatorname{Ker} \varphi$ 与齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解空间同构。

齐次线性方程组 $A\mathbf{x}=\mathbf{0}$ 的解空间维数为 $n - \operatorname{rank}(A)$。由于同构的线性空间维数相等，故 $\dim \operatorname{Ker} \varphi = n - \operatorname{rank}(A)$。

$\operatorname{Im} \varphi = \{\varphi(\alpha) \mid \alpha \in V\}$。考虑基向量的像：$\varphi(\varepsilon_j) = \sum_{i=1}^n a_{ij} \varepsilon_i$，其坐标列向量正是 $A$ 的第 $j$ 列。由于 $\alpha$ 可表示为基的线性组合，$\varphi(\alpha)$ 是 $\varphi(\varepsilon_1), \dots, \varphi(\varepsilon_n)$ 的线性组合，因此 $\operatorname{Im} \varphi$ 由 $\varphi(\varepsilon_1), \dots, \varphi(\varepsilon_n)$ 张成。

$\operatorname{Im} \varphi$ 与 $A$ 的列空间（即 $A$ 的列向量张成的空间）同构，因为 $\varphi(\varepsilon_1), \dots, \varphi(\varepsilon_n)$ 的坐标向量就是 $A$ 的列向量。列空间的维数等于 $A$ 的列秩，即 $\operatorname{rank}(A)$。故 $\dim \operatorname{Im} \varphi = \operatorname{rank}(A)$。