重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
13．已知 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 为 $V$ 的一组基，其度量矩阵为 $G$ 。 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在 $\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 下的矩阵为 $A$ ．证明：$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^{\mathrm{T}} G=G A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设定符号与基本假设
设 $\sigma$ 在基 $\alpha_1,\dots,\alpha_n$ 下的矩阵为 $A=(a_{ij})$，度量矩阵 $G=(g_{ij})$，其中 $g_{ij}=\langle \alpha_i,\alpha_j\rangle$。
提示：注意度量矩阵 $G$ 是对称正定矩阵。
步骤 2/7
目标：必要性：假设 $\sigma$ 为对称变换，推导 $A^\mathrm{T}G=GA$
若 $\sigma$ 为对称变换，则对任意 $\xi,\eta\in V$，有 $\langle \sigma(\xi),\eta\rangle = \langle \xi,\sigma(\eta)\rangle$。取 $\xi=\alpha_i$，$\eta=\alpha_j$，则 $\langle \sigma(\alpha_i),\alpha_j\rangle = \langle \alpha_i,\sigma(\alpha_j)\rangle$。
公式：对称变换定义：$\langle \sigma(\xi),\eta\rangle = \langle \xi,\sigma(\eta)\rangle$
提示：注意 $\sigma(\alpha_i)$ 是基向量的像，需用矩阵表示。
步骤 3/7
目标：必要性：将像用基线性表示并代入内积
由于 $\sigma(\alpha_i)=\sum_{k=1}^n a_{ki}\alpha_k$，$\sigma(\alpha_j)=\sum_{l=1}^n a_{lj}\alpha_l$，代入得 $\left\langle \sum_{k=1}^n a_{ki}\alpha_k,\alpha_j\right\rangle = \left\langle \alpha_i,\sum_{l=1}^n a_{lj}\alpha_l\right\rangle$。利用内积的线性性，得 $\sum_{k=1}^n a_{ki}\langle \alpha_k,\alpha_j\rangle = \sum_{l=1}^n a_{lj}\langle \alpha_i,\alpha_l\rangle$。
公式：内积的线性性：$\langle \sum_k a_k\alpha_k,\alpha_j\rangle = \sum_k a_k\langle \alpha_k,\alpha_j\rangle$
提示：注意求和指标不要混淆，左边对 $k$ 求和，右边对 $l$ 求和。
步骤 4/7
目标：必要性：将等式写成矩阵形式
左边 $\sum_{k=1}^n a_{ki}\langle \alpha_k,\alpha_j\rangle = \sum_{k=1}^n (A^\mathrm{T})_{ik} g_{kj} = (A^\mathrm{T}G)_{ij}$，右边 $\sum_{l=1}^n a_{lj}\langle \alpha_i,\alpha_l\rangle = \sum_{l=1}^n g_{il} a_{lj} = (GA)_{ij}$。因此对任意 $i,j$ 有 $(A^\mathrm{T}G)_{ij}=(GA)_{ij}$，即 $A^\mathrm{T}G=GA$。
公式：矩阵乘法定义：$(A^\mathrm{T}G)_{ij}=\sum_k (A^\mathrm{T})_{ik}G_{kj}$
提示：注意 $A^\mathrm{T}$ 的索引：$(A^\mathrm{T})_{ik}=a_{ki}$。
步骤 5/7
目标：充分性：假设 $A^\mathrm{T}G=GA$，证明 $\sigma$ 为对称变换
对任意 $\xi,\eta\in V$，设 $\xi=\sum_{i=1}^n x_i\alpha_i$，$\eta=\sum_{j=1}^n y_j\alpha_j$，坐标列向量分别为 $X=(x_1,\dots,x_n)^\mathrm{T}$，$Y=(y_1,\dots,y_n)^\mathrm{T}$。则 $\sigma(\xi)$ 的坐标为 $AX$，$\sigma(\eta)$ 的坐标为 $AY$。
公式：线性变换的坐标表示：$\sigma(\xi)$ 的坐标 = $A$ 乘以 $\xi$ 的坐标
提示：注意 $\xi$ 的坐标是列向量，$\sigma(\xi)$ 的坐标是 $AX$。
步骤 6/7
目标：充分性：计算两个内积并利用条件证明相等
计算 $\langle \sigma(\xi),\eta\rangle = (AX)^\mathrm{T} G Y = X^\mathrm{T} A^\mathrm{T} G Y$，$\langle \xi,\sigma(\eta)\rangle = X^\mathrm{T} G (A Y) = X^\mathrm{T} G A Y$。由 $A^\mathrm{T}G=GA$ 得 $X^\mathrm{T} A^\mathrm{T} G Y = X^\mathrm{T} G A Y$，故 $\langle \sigma(\xi),\eta\rangle = \langle \xi,\sigma(\eta)\rangle$，即 $\sigma$ 为对称变换。
公式：内积的坐标形式：$\langle \xi,\eta\rangle = X^\mathrm{T} G Y$
提示：注意矩阵乘法的结合律，以及 $X^\mathrm{T} A^\mathrm{T} G Y$ 是标量，可以任意加括号。
步骤 7/7
目标：总结结论
综上，$\sigma$ 为对称变换的充要条件是 $A^\mathrm{T}G=GA$。
提示：充要条件需证明两个方向，缺一不可。
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