重庆市统考 2026年高等代数第0题
📝 题目
14．设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$ 为 $V$ 的标准正交基，$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 是 $V$ 中的一组向量，并满足 $\displaystyle \left|\varepsilon_{i}-\alpha_{i}\right|<\frac{1}{\sqrt{n}}(n=1,2, \cdots, n)$ ，其中 $|\alpha|$ 表示 $\alpha$ 的模长．证明：$\alpha_{1}, \alpha_{2}, \cdots, \alpha_{n}$ 线性无关．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：设线性组合为零，并引入标准正交基
设 $k_1, k_2, \dots, k_n \in \mathbb{R}$，使得 $\sum_{i=1}^n k_i \alpha_i = 0$。则 $\sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i = \sum_{i=1}^n k_i (\varepsilon_i - \alpha_i)$。
公式：$\sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i = \sum_{i=1}^n k_i (\varepsilon_i - \alpha_i)$
提示：注意将 $\alpha_i$ 表示为 $\varepsilon_i - (\varepsilon_i - \alpha_i)$，从而将未知向量组与标准正交基联系起来。
步骤 2/7
目标：两边取模平方
两边取模平方，得 $\left\| \sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i \right\|^2 = \left\| \sum_{i=1}^n k_i (\varepsilon_i - \alpha_i) \right\|^2$。
公式：$\left\| \sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i \right\|^2 = \left\| \sum_{i=1}^n k_i (\varepsilon_i - \alpha_i) \right\|^2$
提示：模平方运算后，左边可利用标准正交基性质简化，右边需用不等式放缩。
步骤 3/7
目标：应用Cauchy-Schwarz不等式放缩右边
由Cauchy-Schwarz不等式，$\left\| \sum_{i=1}^n k_i (\varepsilon_i - \alpha_i) \right\|^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n |k_i| \cdot \|\varepsilon_i - \alpha_i\| \right)^2$。
公式：$\left\| \sum_{i=1}^n k_i (\varepsilon_i - \alpha_i) \right\|^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n |k_i| \cdot \|\varepsilon_i - \alpha_i\| \right)^2$
提示：Cauchy-Schwarz不等式：$|\langle u,v\rangle| \leq \|u\|\|v\|$，这里取 $u=(|k_1|,\dots,|k_n|)$，$v=(\|\varepsilon_1-\alpha_1\|,\dots,\|\varepsilon_n-\alpha_n\|)$。
步骤 4/7
目标：利用已知条件放缩
由于 $\|\varepsilon_i - \alpha_i\| < \frac{1}{\sqrt{n}}$，故 $\left( \sum_{i=1}^n |k_i| \cdot \|\varepsilon_i - \alpha_i\| \right)^2 < \left( \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n |k_i| \right)^2 = \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |k_i| \right)^2$。
公式：$\left( \sum_{i=1}^n |k_i| \cdot \|\varepsilon_i - \alpha_i\| \right)^2 < \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |k_i| \right)^2$
提示：注意严格不等式，因为每个 $\|\varepsilon_i - \alpha_i\| < 1/\sqrt{n}$，所以乘积和严格小于 $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum |k_i|$。
步骤 5/7
目标：计算左边模平方
由于 $\{\varepsilon_i\}$ 是标准正交基，$\left\| \sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i \right\|^2 = \sum_{i=1}^n k_i^2$。
公式：$\left\| \sum_{i=1}^n k_i \varepsilon_i \right\|^2 = \sum_{i=1}^n k_i^2$
提示：标准正交基下，向量的模平方等于坐标平方和。
步骤 6/7
目标：得到不等式并利用Cauchy-Schwarz导出矛盾
因此 $\sum_{i=1}^n k_i^2 < \frac{1}{n} \left( \sum_{i=1}^n |k_i| \right)^2$。由Cauchy-Schwarz不等式，$\left( \sum_{i=1}^n |k_i| \right)^2 \leq n \sum_{i=1}^n k_i^2$，代入得 $\sum_{i=1}^n k_i^2 < \frac{1}{n} \cdot n \sum_{i=1}^n k_i^2 = \sum_{i=1}^n k_i^2$，矛盾。
公式：$\left( \sum_{i=1}^n |k_i| \right)^2 \leq n \sum_{i=1}^n k_i^2$
提示：Cauchy-Schwarz不等式：$(\sum a_i b_i)^2 \leq (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$，取 $a_i=1$，$b_i=|k_i|$ 即得。
步骤 7/7
目标：结论：所有系数为零，向量组线性无关
矛盾表明假设不成立，故必有 $\sum_{i=1}^n k_i^2 = 0$，即所有 $k_i = 0$。因此 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$ 线性无关。
提示：反证法：假设存在非零系数导致矛盾，从而系数全为零。
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