长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
1．设 $f(x)$ 是一个实系数三次多项式，满足 $(x+1)^{2}$ 整除 $f(x)+1,(x-1)^{2}$ 整除 $f(x)-1$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设多项式并利用整除条件
设 $f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$，其中 $a\neq0$。由 $(x+1)^2\mid f(x)+1$ 得 $f(-1)+1=0$ 且 $f'(-1)=0$；由 $(x-1)^2\mid f(x)-1$ 得 $f(1)-1=0$ 且 $f'(1)=0$。
公式：若 $(x-\alpha)^2\mid g(x)$，则 $g(\alpha)=0$ 且 $g'(\alpha)=0$
提示：注意整除条件给出的是两个等式：函数值为0和导数为0，不要遗漏导数条件。
步骤 2/5
目标：列出方程组
计算：
$f(-1)=-a+b-c+d$，由 $f(-1)+1=0$ 得 $-a+b-c+d+1=0$ (1)
$f'(x)=3ax^2+2bx+c$，由 $f'(-1)=0$ 得 $3a-2b+c=0$ (2)
$f(1)=a+b+c+d$，由 $f(1)-1=0$ 得 $a+b+c+d-1=0$ (3)
$f'(1)=0$ 得 $3a+2b+c=0$ (4)
提示：代入时注意符号，特别是 $f(-1)$ 的计算。
步骤 3/5
目标：解方程组求系数
(2)+(4)得 $6a+2c=0$，即 $c=-3a$。
(4)-(2)得 $4b=0$，即 $b=0$。
代入(1): $-a+0-(-3a)+d+1=0$ 即 $-a+3a+d+1=0$，$2a+d+1=0$，$d=-2a-1$。
代入(3): $a+0-3a+(-2a-1)-1=0$ 即 $a-3a-2a-1-1=0$，$-4a-2=0$，$a=-\frac{1}{2}$。
提示：解方程组时注意消元顺序，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：回代求其他系数
由 $a=-\frac{1}{2}$ 得：
$c=-3(-\frac{1}{2})=\frac{3}{2}$，
$d=-2(-\frac{1}{2})-1=1-1=0$。
提示：回代时仔细计算，注意分数运算。
步骤 5/5
目标：写出多项式
所以 $f(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x$。
提示：最终结果可以写成 $f(x)=\frac{1}{2}x(3-x^2)$ 或 $f(x)=-\frac{1}{2}x^3+\frac{3}{2}x$。
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