长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
3．设 $A$ 为 3 阶方阵，且 $\displaystyle |A|=\frac{1}{2}$ ，则 $\left|(3 A)^{-1}-2 A^{*}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算 (3A)^{-1}
对于可逆矩阵 $A$，数乘矩阵的逆满足 $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$，其中 $k \neq 0$。因此 $(3A)^{-1} = \frac{1}{3} A^{-1}$。
公式：$(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$
提示：注意系数 $k$ 要取倒数，且 $k$ 不能为0。
步骤 2/6
目标：计算 2A^*
伴随矩阵 $A^*$ 与逆矩阵的关系为 $A^* = |A| A^{-1}$。已知 $|A| = \frac{1}{2}$，所以 $A^* = \frac{1}{2} A^{-1}$，则 $2A^* = 2 \cdot \frac{1}{2} A^{-1} = A^{-1}$。
公式：$A^* = |A| A^{-1}$
提示：注意伴随矩阵的定义：$A^* = |A| A^{-1}$ 仅当 $A$ 可逆时成立。
步骤 3/6
目标：合并表达式
将前两步结果代入：$(3A)^{-1} - 2A^* = \frac{1}{3} A^{-1} - A^{-1} = -\frac{2}{3} A^{-1}$。
提示：合并同类项时注意系数相减。
步骤 4/6
目标：计算行列式
对矩阵乘积取行列式：$\left| -\frac{2}{3} A^{-1} \right| = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 |A^{-1}|$，因为 $A$ 是3阶方阵，所以 $kA$ 的行列式为 $k^3 |A|$。
公式：$|kA| = k^n |A|$，其中 $n$ 为矩阵阶数
提示：注意阶数 $n=3$，不要忘记指数。
步骤 5/6
目标：计算 |A^{-1}|
逆矩阵的行列式等于原矩阵行列式的倒数：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|} = \frac{1}{1/2} = 2$。
公式：$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$
提示：前提是 $A$ 可逆，即 $|A| \neq 0$。
步骤 6/6
目标：代入求值
将 $|A^{-1}|=2$ 代入：$\left(-\frac{2}{3}\right)^3 \times 2 = -\frac{8}{27} \times 2 = -\frac{16}{27}$。
提示：注意负号：$(-\frac{2}{3})^3$ 为负。
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