长安大学 2026年高等代数第0题

设 $A$ 是3阶正交矩阵，则 $A^T A = I$。对于正交矩阵，其特征值的模为1，即 $|\lambda| = 1$。此外，非实特征值必成共轭对出现。

已知 $\det A = 1$。设 $A$ 的三个特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$，则 $\lambda_1 \lambda_2 \lambda_3 = \det A = 1$。

由于 $A$ 是3阶实矩阵，其特征多项式是实系数三次多项式，因此至少有一个实根，即 $A$ 至少有一个实特征值。

实特征值 $\lambda$ 满足 $|\lambda| = 1$，所以 $\lambda = \pm 1$。

设实特征值为 $\lambda$，其余两个特征值可能是实数或共轭复数。若 $\lambda = -1$，则其余两个特征值的乘积为 $-1$，但它们的模均为1，乘积的模为1，而 $-1$ 的模为1，可能成立。但考虑若 $\lambda = -1$，则其余两个特征值可能是 $1$ 和 $-1$，或共轭复数 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$，此时乘积为 $(-1) \cdot 1 \cdot (-1) = 1$ 或 $(-1) \cdot e^{i\theta} \cdot e^{-i\theta} = -1$，后者不满足乘积为1。因此 $\lambda = -1$ 时，其余两个特征值必须都是 $-1$ 或一个是1另一个是-1？实际上，若 $\lambda = -1$，则其余两个特征值的乘积为 $-1$，但它们的模为1，所以它们只能是 $1$ 和 $-1$ 或 $e^{i\theta}$ 和 $e^{-i\theta}$。若为 $1$ 和 $-1$，则乘积为 $-1$，总乘积为 $(-1)\cdot1\cdot(-1)=1$，成立；若为共轭复数，乘积为 $1$，则总乘积为 $-1$，矛盾。所以 $\lambda = -1$ 是可能的，但题目要求“必有实特征值”，即至少有一个实特征值，但并未指定是哪个。然而，题目填空是“必有实特征值____”，通常期望一个确定的数。进一步分析：若 $A$ 有实特征值 $-1$，则其余两个特征值可能是 $1$ 和 $-1$ 或共轭复数？但若为共轭复数，则乘积为 $1$，总乘积为 $-1$，矛盾。所以当 $\lambda = -1$ 时，其余两个特征值必须都是 $-1$ 或一个是1另一个是-1？实际上，若三个特征值都是 $-1$，则乘积为 $-1$，与行列式为1矛盾。所以只能是两个 $-1$ 和一个 $1$？但这样乘积为 $(-1)\times(-1)\times1=1$，成立。此时实特征值有 $1$ 和 $-1$。但题目说“必有实特征值”，并没有说唯一。然而，通常的结论是：3阶正交矩阵且行列式为1，则必有一个特征值为1。这是因为旋转矩阵的特征值。实际上，考虑 $A$ 是旋转矩阵，特征值为 $1, e^{i\theta}, e^{-i\theta}$，乘积为1。若 $A$ 有特征值 $-1$，则其行列式可能为 $-1$（若另两个为共轭复数）或 $1$（若另两个为 $-1$ 和 $1$）。但若另两个为 $-1$ 和 $1$，则 $A$ 的特征值为 $-1, -1, 1$，此时 $A$ 是反射？实际上，正交矩阵且行列式为1称为旋转矩阵，其特征值必有1。所以正确答案是1。

因此，3阶行列式为1的正交矩阵必有实特征值1。