长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
5．所有与 $n$ 阶方阵 $A$ 可交换的矩阵集合 $C(A)$ 是 $P^{n \times n}$ 的一个子空间，当对角矩阵
$$
A=\operatorname{diag}\left\{a_{1}, a_{2}, \cdots, a_{n}\right\}
$$
中对角元素 $a_{i}(1 \leq i \leq n)$ 互不相同时，$C(A)$ 的维数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与设定
已知 $A$ 是 $n$ 阶对角矩阵 $A=\operatorname{diag}\{a_1, a_2, \ldots, a_n\}$，且 $a_i$ 互不相同。$C(A)$ 是所有与 $A$ 可交换的 $n$ 阶方阵的集合，即 $C(A)=\{X \in P^{n \times n} \mid AX=XA\}$。我们需要求 $C(A)$ 作为 $P^{n \times n}$ 的子空间的维数。
提示：注意 $C(A)$ 是子空间，维数即基的个数。
步骤 2/6
目标：写出可交换条件
设 $X=(x_{ij})$ 为 $n$ 阶方阵。计算 $AX$ 和 $XA$：
$AX$ 的 $(i,j)$ 元为 $a_i x_{ij}$，$XA$ 的 $(i,j)$ 元为 $x_{ij} a_j$。由 $AX=XA$ 得 $a_i x_{ij} = x_{ij} a_j$，即 $(a_i - a_j)x_{ij}=0$。
公式：$(a_i - a_j)x_{ij}=0$
提示：注意矩阵乘法顺序：$AX$ 左乘 $A$，$XA$ 右乘 $A$。
步骤 3/6
目标：利用对角元素互异推导非对角元为零
由于 $a_i$ 互不相同，当 $i \neq j$ 时，$a_i - a_j \neq 0$，因此 $(a_i - a_j)x_{ij}=0$ 推出 $x_{ij}=0$。所以所有非对角元必须为零。
提示：不要忘记 $i=j$ 时 $a_i-a_j=0$，此时方程自动满足，对角元可以任意。
步骤 4/6
目标：确定可交换矩阵的形式
由 $x_{ij}=0$ 对 $i \neq j$，可知 $X$ 只能是对角矩阵，即 $X=\operatorname{diag}\{d_1, d_2, \ldots, d_n\}$，其中 $d_i$ 为任意数。因此 $C(A)$ 由所有对角矩阵组成。
提示：对角矩阵的每个对角元独立，没有其他约束。
步骤 5/6
目标：求子空间的维数
所有对角矩阵构成 $P^{n \times n}$ 的一个子空间，其一组基为 $E_{ii}$（$i=1,\ldots,n$），其中 $E_{ii}$ 是第 $i$ 行第 $i$ 列为1，其余为0的矩阵。基的个数为 $n$，所以 $C(A)$ 的维数为 $n$。
提示：维数等于自由变量的个数，这里对角元有 $n$ 个自由变量。
步骤 6/6
目标：总结答案
因此，当对角矩阵 $A$ 的对角元素互不相同时，$C(A)$ 的维数为 $n$。
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