长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
6．$n$ 阶方阵 $A$ 满足 $A^{3}=2 E, B=A^{2}-2 A+2 E$ ，则 $B^{-1}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：判断A可逆并求A^{-1}
由 $A^3 = 2E$ 可知 $A$ 可逆，且 $A^{-1} = \frac{1}{2}A^2$。
公式：$A^3 = 2E \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{2}A^2$
提示：注意 $A^3=2E$ 意味着 $A$ 可逆，且逆矩阵可用 $A$ 的多项式表示。
步骤 2/8
目标：设定B^{-1}的形式
由于 $B$ 是 $A$ 的多项式，可设 $B^{-1} = xA^2 + yA + zE$，其中 $x,y,z$ 为待定系数。
提示：逆矩阵通常也是 $A$ 的多项式，次数不超过2。
步骤 3/8
目标：展开乘积并化简
计算 $B \cdot (xA^2 + yA + zE) = (A^2 - 2A + 2E)(xA^2 + yA + zE)$，展开得：
$$xA^4 + yA^3 + zA^2 - 2xA^3 - 2yA^2 - 2zA + 2xA^2 + 2yA + 2zE = E.$$
提示：展开时注意多项式乘法，合并同类项。
步骤 4/8
目标：利用A^3=2E化简高次项
由 $A^3=2E$ 得 $A^4 = A \cdot A^3 = 2A$。代入上式：
$$x(2A) + y(2E) + zA^2 - 2x(2E) - 2yA^2 - 2zA + 2xA^2 + 2yA + 2zE = E.$$
公式：$A^4 = 2A$
提示：注意 $A^4$ 的化简，避免错误。
步骤 5/8
目标：合并同类项
合并 $A^2$、$A$ 和 $E$ 的系数：
$$(z - 2y + 2x)A^2 + (2x - 2z + 2y)A + (2y - 4x + 2z)E = E.$$
提示：合并时注意各项系数，不要遗漏。
步骤 6/8
目标：建立方程组
比较系数得：
\begin{cases}
2x - 2z + 2y = 0, \\
z - 2y + 2x = 0, \\
2y - 4x + 2z = 1.
\end{cases}
提示：注意常数项对应 $E$ 的系数，右边是 $E$ 所以系数为1。
步骤 7/8
目标：解方程组
由第一式得 $x+y-z=0$，即 $z=x+y$。代入第二式得 $2x-2y+(x+y)=3x-y=0$，即 $y=3x$。则 $z=x+3x=4x$。代入第三式得 $2(3x)-4x+2(4x)=6x-4x+8x=10x=1$，解得 $x=\frac{1}{10}$，$y=\frac{3}{10}$，$z=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$。
提示：解方程时注意代入顺序，避免计算错误。
步骤 8/8
目标：写出B^{-1}
因此 $B^{-1} = \frac{1}{10}A^2 + \frac{3}{10}A + \frac{2}{5}E$。
提示：最终结果要化简系数。
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