长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
七．（15分）设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，$A$ 的每一行每一列恰好有一个元素等于 1 ，其余元素均为 0 ，证明：存在正整数 $k$ ，使得 $\displaystyle A^{k}=E$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别矩阵类型
由题意，$A$ 的每一行每一列恰好有一个元素等于1，其余为0，因此 $A$ 是一个置换矩阵。存在一个置换 $\sigma \in S_n$，使得 $A_{i,\sigma(i)}=1$，其余元素为0。
提示：注意置换矩阵的定义：每行每列只有一个1，其余为0。
步骤 2/6
目标：建立置换与矩阵的对应关系
对于任意 $i$，$A$ 左乘向量 $e_i$（第 $i$ 个标准基向量）得到 $e_{\sigma(i)}$，即 $A e_i = e_{\sigma(i)}$。因此 $A$ 的作用相当于置换 $\sigma$ 作用于基向量。
公式：$A e_i = e_{\sigma(i)}$
提示：理解置换矩阵如何作用在基向量上。
步骤 3/6
目标：考虑置换的阶
由于 $S_n$ 是有限群，置换 $\sigma$ 的阶有限，即存在正整数 $k$ 使得 $\sigma^k = \text{id}$，其中 $\text{id}$ 是恒等置换。
公式：$\sigma^k = \text{id}$
提示：置换的阶是其循环分解中各循环长度的最小公倍数。
步骤 4/6
目标：推导矩阵幂的对应关系
对于任意正整数 $m$，$A^m$ 对应于置换 $\sigma^m$，即 $A^m e_i = e_{\sigma^m(i)}$。这是因为 $A^m e_i = A^{m-1}(A e_i) = A^{m-1} e_{\sigma(i)} = \cdots = e_{\sigma^m(i)}$。
公式：$A^m e_i = e_{\sigma^m(i)}$
提示：通过归纳法理解矩阵幂与置换幂的关系。
步骤 5/6
目标：取k为置换的阶
取 $k$ 为 $\sigma$ 的阶，则 $\sigma^k = \text{id}$，因此 $A^k e_i = e_{\sigma^k(i)} = e_i$ 对所有 $i$ 成立。所以 $A^k$ 将每个基向量映射到自身，即 $A^k = E$。
公式：$A^k = E$
提示：注意单位矩阵 $E$ 的作用是恒等变换。
步骤 6/6
目标：结论
因此，存在正整数 $k$（即置换 $\sigma$ 的阶）使得 $A^k = E$。
提示：该结论对任意置换矩阵成立。
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