长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
三．（10 分）设 $\displaystyle n \geq 2$ ，计算 $n$ 阶行列式
$$
D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}
\sin \left(2 \alpha_{1}\right) & \sin \left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_{1}+\alpha_{n}\right) \\
\sin \left(\alpha_{2}+\alpha_{1}\right) & \sin \left(2 \alpha_{2}\right) & \cdots & \sin \left(\alpha_{2}+\alpha_{n}\right) \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
\sin \left(\alpha_{n}+\alpha_{1}\right) & \sin \left(\alpha_{n}+\alpha_{2}\right) & \cdots & \sin \left(2 \alpha_{n}\right)
\end{array}\right| .
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用三角恒等式分解矩阵元素
观察到行列式中的每个元素可以写成 $\sin(\alpha_i+\alpha_j) = \sin\alpha_i\cos\alpha_j + \cos\alpha_i\sin\alpha_j$。因此，矩阵 $A$ 的元素 $a_{ij} = \sin(\alpha_i+\alpha_j)$ 可以表示为两个向量的外积之和。
公式：$\sin(\alpha_i+\alpha_j) = \sin\alpha_i\cos\alpha_j + \cos\alpha_i\sin\alpha_j$
提示：注意三角恒等式的正确使用，不要混淆和差公式。
步骤 2/6
目标：将矩阵表示为向量外积的和
令 $\mathbf{u} = (\sin\alpha_1, \sin\alpha_2, \dots, \sin\alpha_n)^T$，$\mathbf{v} = (\cos\alpha_1, \cos\alpha_2, \dots, \cos\alpha_n)^T$。则矩阵 $A$ 可以写成 $A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T + \mathbf{v}\mathbf{u}^T$，其中 $\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 是 $n \times n$ 矩阵，其 $(i,j)$ 元为 $\sin\alpha_i\cos\alpha_j$，$\mathbf{v}\mathbf{u}^T$ 的 $(i,j)$ 元为 $\cos\alpha_i\sin\alpha_j$。
公式：$A = \mathbf{u}\mathbf{v}^T + \mathbf{v}\mathbf{u}^T$
提示：注意向量外积的维度：$\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 是 $n \times n$ 矩阵。
步骤 3/6
目标：分析矩阵的秩
由于 $\mathbf{u}\mathbf{v}^T$ 和 $\mathbf{v}\mathbf{u}^T$ 都是秩为1的矩阵（假设 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 非零），它们的和 $A$ 的秩最多为2。因此，当 $n \geq 3$ 时，$A$ 是秩不超过2的 $n$ 阶方阵，其行列式为0。
公式：秩的性质：$\text{rank}(\mathbf{u}\mathbf{v}^T + \mathbf{v}\mathbf{u}^T) \leq 2$
提示：注意：如果 $\mathbf{u}$ 和 $\mathbf{v}$ 线性相关，秩可能为1，但依然小于 $n$（$n\geq3$）。
步骤 4/6
目标：处理 $n=2$ 的情况
当 $n=2$ 时，行列式 $D_2 = \begin{vmatrix} \sin(2\alpha_1) & \sin(\alpha_1+\alpha_2) \\ \sin(\alpha_2+\alpha_1) & \sin(2\alpha_2) \end{vmatrix}$。直接计算：$D_2 = \sin(2\alpha_1)\sin(2\alpha_2) - \sin^2(\alpha_1+\alpha_2)$。
公式：二阶行列式公式
提示：注意 $\sin(\alpha_1+\alpha_2) = \sin(\alpha_2+\alpha_1)$，所以矩阵对称。
步骤 5/6
目标：化简 $n=2$ 的行列式表达式
利用倍角公式 $\sin(2\alpha)=2\sin\alpha\cos\alpha$ 和和差化积公式：$\sin(2\alpha_1)\sin(2\alpha_2) = 4\sin\alpha_1\cos\alpha_1\sin\alpha_2\cos\alpha_2$，$\sin^2(\alpha_1+\alpha_2) = (\sin\alpha_1\cos\alpha_2+\cos\alpha_1\sin\alpha_2)^2$。展开并相减得 $D_2 = - (\sin\alpha_1\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1\sin\alpha_2)^2 = -\sin^2(\alpha_1-\alpha_2)$。
公式：$\sin(\alpha_1-\alpha_2) = \sin\alpha_1\cos\alpha_2 - \cos\alpha_1\sin\alpha_2$
提示：注意符号：最终结果为负的平方，确保计算正确。
步骤 6/6
目标：综合结论
综上所述，当 $n \geq 3$ 时，$D_n = 0$；当 $n=2$ 时，$D_2 = -\sin^2(\alpha_1-\alpha_2)$。注意 $n=1$ 不在题目范围内（$n\geq2$）。
提示：注意 $n=2$ 是唯一非零的情况，且结果与角度差有关。
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