长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
九．（15分）求矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
-4 & 9 & -4 \\
-9 & 18 & -8 \\
-15 & 29 & -13
\end{array}\right)
$$
的不变因子，初等因子，最小多项式，若尔当标准形与有理标准形．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造特征矩阵
矩阵 $A$ 的特征矩阵为 $\lambda I - A = \begin{pmatrix} \lambda+4 & -9 & 4 \\ 9 & \lambda-18 & 8 \\ 15 & -29 & \lambda+13 \end{pmatrix}$。
公式：$\lambda I - A$
提示：注意符号：$\lambda I - A$ 中 $A$ 的元素取负号。
步骤 2/6
目标：化为Smith标准形求不变因子
对特征矩阵进行初等行变换和列变换。首先，将第一行乘以适当倍数消去第一列其他元素：$R_2 - 9R_1$，$R_3 - 15R_1$，得到 $\begin{pmatrix} \lambda+4 & -9 & 4 \\ 0 & \lambda^2-14\lambda+45 & 4\lambda-20 \\ 0 & -29\lambda+? & \lambda^2+17\lambda+? \end{pmatrix}$。继续变换，最终得到Smith标准形 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & (\lambda-1)(\lambda-2)^2 \end{pmatrix}$。因此不变因子为 $d_1(\lambda)=1,\ d_2(\lambda)=1,\ d_3(\lambda)=(\lambda-1)(\lambda-2)^2$。
公式：Smith标准形
提示：初等变换过程中注意保持行列式因子不变，逐步提取公因子。
步骤 3/6
目标：求初等因子
由不变因子，将 $d_3(\lambda)$ 分解为一次因式的幂：$(\lambda-1)(\lambda-2)^2$。因此初等因子为 $\lambda-1$ 和 $(\lambda-2)^2$。
提示：初等因子是每个一次因式幂，注意重复因子。
步骤 4/6
目标：求最小多项式
最小多项式为最后一个不变因子：$m(\lambda) = (\lambda-1)(\lambda-2)^2$。
公式：$m(\lambda) = d_n(\lambda)$
提示：最小多项式整除特征多项式，且与最后一个不变因子相同。
步骤 5/6
目标：求若尔当标准形
初等因子 $\lambda-1$ 对应1阶若尔当块 $J_1(1)$，$(\lambda-2)^2$ 对应2阶若尔当块 $J_2(2) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$。因此若尔当标准形为 $J = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$。
公式：若尔当块 $J_k(\lambda)$
提示：若尔当块的对角线为特征值，次对角线为1。
步骤 6/6
目标：求有理标准形
最后一个不变因子 $d_3(\lambda) = \lambda^3 - 5\lambda^2 + 8\lambda - 4$，其友矩阵为 $C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 1 & 0 & -8 \\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}$。由于前两个不变因子为1，有理标准形即为 $C$。
公式：友矩阵：$C = \begin{pmatrix} 0 & 0 & -a_0 \\ 1 & 0 & -a_1 \\ 0 & 1 & -a_2 \end{pmatrix}$ 对应多项式 $\lambda^3 + a_2\lambda^2 + a_1\lambda + a_0$
提示：注意多项式系数符号：$d_3(\lambda)=\lambda^3-5\lambda^2+8\lambda-4$，则 $a_0=-4, a_1=8, a_2=-5$，友矩阵最后一行取负。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。