长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
二．（10 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是有理数域上的多项式，证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上不可约当且仅当对任意有理数 $\displaystyle a, b$ ，其中 $\displaystyle a \neq 0$ ，多项式 $\displaystyle g(x)=f(a x+b)$ 在有理数域上不可约．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解问题并明确要证明的等价性
我们需要证明：$f(x)$ 在有理数域上不可约当且仅当对任意有理数 $a \neq 0, b$，$g(x)=f(ax+b)$ 在有理数域上不可约。这需要证明两个方向：必要性（若 $f$ 不可约则 $g$ 不可约）和充分性（若 $g$ 不可约则 $f$ 不可约）。
提示：注意 $a \neq 0$ 的条件，否则变换可能退化。
步骤 2/8
目标：必要性证明：假设 $f$ 不可约，反设 $g$ 可约
假设 $f(x)$ 在有理数域上不可约。反设 $g(x)=f(ax+b)$ 可约，则存在非常数的有理系数多项式 $g_1(x), g_2(x)$ 使得 $g(x)=g_1(x)g_2(x)$。
公式：$g(x)=g_1(x)g_2(x)$
提示：注意 $g_1, g_2$ 的次数至少为1。
步骤 3/8
目标：通过变量替换得到 $f$ 的分解
令 $x = \frac{y-b}{a}$，代入 $g(x)=f(ax+b)$ 得 $f(y)=g\left(\frac{y-b}{a}\right)=g_1\left(\frac{y-b}{a}\right)g_2\left(\frac{y-b}{a}\right)$。由于 $a, b$ 是有理数且 $a \neq 0$，$g_i\left(\frac{y-b}{a}\right)$ 仍是有理系数多项式，且次数与 $g_i$ 相同，因此 $f(y)$ 可约，与假设矛盾。
公式：$f(y)=g_1\left(\frac{y-b}{a}\right)g_2\left(\frac{y-b}{a}\right)$
提示：确保 $\frac{y-b}{a}$ 的系数是有理数，从而多项式系数仍为有理数。
步骤 4/8
目标：必要性结论
因此，若 $f$ 不可约，则 $g$ 也不可约。必要性得证。
步骤 5/8
目标：充分性证明：假设 $g$ 不可约，反设 $f$ 可约
假设 $g(x)=f(ax+b)$ 在有理数域上不可约。反设 $f(x)$ 可约，则存在非常数的有理系数多项式 $f_1(x), f_2(x)$ 使得 $f(x)=f_1(x)f_2(x)$。
公式：$f(x)=f_1(x)f_2(x)$
提示：注意 $f_1, f_2$ 的次数至少为1。
步骤 6/8
目标：代入变换得到 $g$ 的分解
将 $x$ 替换为 $ax+b$，得 $g(x)=f(ax+b)=f_1(ax+b)f_2(ax+b)$。由于 $a, b$ 是有理数且 $a \neq 0$，$f_i(ax+b)$ 仍是有理系数多项式，且次数与 $f_i$ 相同，因此 $g(x)$ 可约，与假设矛盾。
公式：$g(x)=f_1(ax+b)f_2(ax+b)$
提示：注意 $f_i(ax+b)$ 的次数与 $f_i$ 相同，所以分解非常数。
步骤 7/8
目标：充分性结论
因此，若 $g$ 不可约，则 $f$ 也不可约。充分性得证。
步骤 8/8
目标：总结并完成证明
综合必要性和充分性，原命题成立。
提示：注意整个证明中 $a \neq 0$ 是关键，否则变换不是可逆的线性变换。
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