长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
五．（15 分）设
$$
\alpha=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3 \\
4
\end{array}\right), A=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 3 & 4 \\
2 & 5 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 10 & 11 \\
4 & 8 & 12 & 17
\end{array}\right)-\frac{1}{30^{2025}}\left(\alpha \alpha^{\prime}\right)^{2026}, B=\left(\begin{array}{cccc}
2 & 1 & 3 & 4 \\
0 & 2 & 1 & 3 \\
0 & 0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right) .
$$
（1）求矩阵 $A$ ．
（2）若 $X$ 满足 $\displaystyle X\left(E-B^{-1} A\right)^{\prime} B^{\prime}=E$ ，求矩阵 $X$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算向量外积 αα'
计算 $\alpha\alpha'$，其中 $\alpha = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}$，$\alpha' = \begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}$，得到 $\alpha\alpha' = \begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\\4&8&12&16\end{pmatrix}$。
公式：$\alpha\alpha' = \begin{pmatrix}1\\2\\3\\4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2&3&4\end{pmatrix}$
提示：注意外积的结果是矩阵，内积是标量。
步骤 2/6
目标：计算 (αα')^{2026}
先计算 $\alpha'\alpha = 1^2+2^2+3^2+4^2 = 30$。利用性质：对于 $k\ge 1$，$(\alpha\alpha')^k = (\alpha'\alpha)^{k-1}\alpha\alpha' = 30^{k-1}\alpha\alpha'$。因此 $(\alpha\alpha')^{2026} = 30^{2025}\alpha\alpha'$。
公式：$(\alpha\alpha')^k = (\alpha'\alpha)^{k-1}\alpha\alpha'$
提示：注意 $\alpha'\alpha$ 是标量，可以提到前面。
步骤 3/6
目标：化简矩阵 A
代入 $A$ 的表达式：$A = \begin{pmatrix}2&1&3&4\\2&5&5&8\\3&6&10&11\\4&8&12&17\end{pmatrix} - \frac{1}{30^{2025}} \cdot 30^{2025}\alpha\alpha' = \begin{pmatrix}2&1&3&4\\2&5&5&8\\3&6&10&11\\4&8&12&17\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&6&8\\3&6&9&12\\4&8&12&16\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{pmatrix}$。
提示：注意减法时对应元素相减。
步骤 4/6
目标：化简矩阵方程
由 $X(E-B^{-1}A)'B' = E$，两边取转置得 $B(E-B^{-1}A)X' = E$，即 $(B - A)X' = E$，所以 $X' = (B-A)^{-1}$，从而 $X = ((B-A)')^{-1}$。
公式：$(AB)' = B'A'$，$(A^{-1})' = (A')^{-1}$
提示：注意转置运算的顺序。
步骤 5/6
目标：计算 B - A
已知 $B = \begin{pmatrix}2&1&3&4\\0&2&1&3\\0&0&2&1\\0&0&0&2\end{pmatrix}$，$A = \begin{pmatrix}1&-1&0&0\\0&1&-1&0\\0&0&1&-1\\0&0&0&1\end{pmatrix}$，相减得 $B-A = \begin{pmatrix}1&2&3&4\\0&1&2&3\\0&0&1&2\\0&0&0&1\end{pmatrix}$。
提示：注意对应元素相减。
步骤 6/6
目标：计算 (B-A)' 并求逆
$(B-A)' = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\2&1&0&0\\3&2&1&0\\4&3&2&1\end{pmatrix}$。求逆矩阵：设 $X = ((B-A)')^{-1}$，解方程或利用公式得 $X = \begin{pmatrix}1&0&0&0\\-2&1&0&0\\1&-2&1&0\\0&1&-2&1\end{pmatrix}$。
公式：下三角矩阵求逆公式
提示：注意逆矩阵的求解过程，可逐列求解。
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