长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
八．（15 分）设 $\displaystyle \sigma$ 是数域 $P$ 上线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ．证明：
（1）$\displaystyle \sigma$ 的特征值为 1 或 0 ．
（2）$\displaystyle V=\sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明特征值只能是0或1
设 $\lambda$ 是 $\sigma$ 的特征值，则存在非零向量 $\alpha \in V$ 使得 $\sigma(\alpha) = \lambda \alpha$。两边同时作用 $\sigma$ 得 $\sigma^2(\alpha) = \sigma(\lambda \alpha) = \lambda \sigma(\alpha) = \lambda^2 \alpha$。由已知 $\sigma^2 = \sigma$，故 $\lambda \alpha = \lambda^2 \alpha$，即 $(\lambda^2 - \lambda)\alpha = 0$。由于 $\alpha \neq 0$，所以 $\lambda^2 - \lambda = 0$，解得 $\lambda = 0$ 或 $\lambda = 1$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：注意特征向量非零，才能推出特征多项式为零。
步骤 2/4
目标：证明两个子空间交为零
任取 $\alpha \in \sigma^{-1}(0) \cap \sigma(V)$，则 $\sigma(\alpha) = 0$，且存在 $\beta \in V$ 使得 $\alpha = \sigma(\beta)$。于是 $0 = \sigma(\alpha) = \sigma^2(\beta) = \sigma(\beta) = \alpha$，故 $\alpha = 0$。因此 $\sigma^{-1}(0) \cap \sigma(V) = \{0\}$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：注意 $\sigma^{-1}(0)$ 是核，$\sigma(V)$ 是像。
步骤 3/4
目标：证明任意向量可分解为两个子空间的和
任取 $\alpha \in V$，令 $\alpha_1 = \alpha - \sigma(\alpha)$，$\alpha_2 = \sigma(\alpha)$。则 $\sigma(\alpha_1) = \sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha) - \sigma(\alpha) = 0$，故 $\alpha_1 \in \sigma^{-1}(0)$；而 $\alpha_2 = \sigma(\alpha) \in \sigma(V)$。且 $\alpha = \alpha_1 + \alpha_2$。因此 $V = \sigma^{-1}(0) + \sigma(V)$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：构造分解时，利用 $\sigma(\alpha)$ 作为像部分，剩余部分属于核。
步骤 4/4
目标：总结直和结论
由前两步，$\sigma^{-1}(0) \cap \sigma(V) = \{0\}$ 且 $V = \sigma^{-1}(0) + \sigma(V)$，根据直和的定义，有 $V = \sigma^{-1}(0) \oplus \sigma(V)$。
提示：直和需要满足和与交为零两个条件。
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