长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
十．（10 分）设 $\displaystyle A, B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 实矩阵，秩 $\displaystyle (A+B)=n$ ．证明：$\displaystyle A^{\prime} A+B^{\prime} B$ 为正定矩阵．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确要证明的目标
要证明 $A'A + B'B$ 是正定矩阵，即证明对于任意非零列向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x'(A'A + B'B)x > 0$。
提示：正定矩阵的定义：实对称矩阵 $M$ 正定当且仅当对任意非零向量 $x$，有 $x'Mx > 0$。注意 $A'A + B'B$ 显然是对称的。
步骤 2/6
目标：展开二次型
计算 $x'(A'A + B'B)x = x'A'Ax + x'B'Bx = (Ax)'(Ax) + (Bx)'(Bx) = \|Ax\|^2 + \|Bx\|^2$。
公式：$x'A'Ax = (Ax)'(Ax) = \|Ax\|^2$
提示：注意 $x'A'Ax$ 是二次型，可以写成向量范数的平方。
步骤 3/6
目标：非负性分析
由于范数平方非负，有 $\|Ax\|^2 + \|Bx\|^2 \geq 0$，因此 $x'(A'A + B'B)x \geq 0$。
提示：这里只得到非负，还需要证明严格大于0。
步骤 4/6
目标：假设等于零的情况
假设存在非零 $x$ 使得 $\|Ax\|^2 + \|Bx\|^2 = 0$，则必有 $\|Ax\|^2 = 0$ 且 $\|Bx\|^2 = 0$，即 $Ax = 0$ 且 $Bx = 0$。
提示：范数平方为零当且仅当向量为零向量。
步骤 5/6
目标：利用秩条件推出矛盾
由 $Ax = 0$ 和 $Bx = 0$ 得 $(A+B)x = 0$。已知 $\operatorname{rank}(A+B) = n$，而 $A+B$ 是 $m \times n$ 矩阵，列满秩意味着齐次线性方程组 $(A+B)x = 0$ 只有零解，故 $x = 0$，与假设 $x \neq 0$ 矛盾。
提示：矩阵列满秩等价于其零空间只有零向量。
步骤 6/6
目标：得出结论
因此，对任意非零 $x$，$\|Ax\|^2 + \|Bx\|^2 > 0$，即 $x'(A'A + B'B)x > 0$。所以 $A'A + B'B$ 是正定矩阵。
提示：注意正定矩阵要求对称且所有特征值大于0，这里已证明二次型恒正。
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