长安大学 2026年高等代数第0题
📝 题目
四．（15 分）设非齐次线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\
\cdots \cdots \\
a_{s 1} x_{1}+a_{s 2} x_{2}+\cdots+a_{s n} x_{n}=b_{s}
\end{array}\right.
$$
的系数矩阵为 $A$ ，向量 $\displaystyle \beta=\left(b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{s}\right)^{\prime}$ ．
（1）若方程组有解且秩 $\displaystyle (A)=r$ ，求方程组的解向量中最多线性无关解的数目．
（2）若方程组对任意的 $s$ 维列向量 $\displaystyle \beta$ 都有解，求秩（ $A$ ）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解问题并建立符号
设非齐次线性方程组为 $A\mathbf{x}=\beta$，其中 $A$ 是 $s\times n$ 矩阵，$\beta$ 是 $s$ 维列向量。已知方程组有解，且 $\operatorname{rank}(A)=r$。
提示：注意矩阵 $A$ 的行数 $s$ 和列数 $n$ 不一定相等。
步骤 2/7
目标：回忆齐次方程组解的结构
齐次方程组 $A\mathbf{x}=0$ 的解空间维数为 $n-r$，其基础解系含有 $n-r$ 个线性无关的解向量。
公式：解空间维数 $= n - \operatorname{rank}(A)$
提示：基础解系中的向量线性无关，且任意齐次解可表示为它们的线性组合。
步骤 3/7
目标：非齐次方程组解的结构
非齐次方程组的通解可表示为 $\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \mathbf{x}_h$，其中 $\mathbf{x}_0$ 是一个特解，$\mathbf{x}_h$ 是齐次方程组的任意解。因此，所有解向量构成一个仿射空间，其维数等于齐次解空间的维数 $n-r$。
公式：$\mathbf{x} = \mathbf{x}_0 + \mathbf{x}_h$
提示：特解 $\mathbf{x}_0$ 本身不是齐次解，除非 $\beta=0$。
步骤 4/7
目标：确定解向量中线性无关的最大数目
在仿射空间中，最多可以找到 $n-r+1$ 个线性无关的点（解向量）。例如，取一个特解 $\mathbf{x}_0$ 和 $n-r$ 个线性无关的齐次解 $\mathbf{v}_1,\dots,\mathbf{v}_{n-r}$，则向量组 $\{\mathbf{x}_0, \mathbf{x}_0+\mathbf{v}_1, \dots, \mathbf{x}_0+\mathbf{v}_{n-r}\}$ 线性无关。因此，最多线性无关解的数目为 $n-r+1$。
提示：注意：特解与齐次解可能线性相关，但通过适当选择可保证线性无关。
步骤 5/7
目标：第二问：理解条件
若对任意 $s$ 维列向量 $\beta$，方程组 $A\mathbf{x}=\beta$ 都有解，则 $A$ 的列空间 $\operatorname{Col}(A)$ 必须等于整个 $\mathbb{R}^s$。
提示：列空间是 $A$ 的列向量张成的子空间。
步骤 6/7
目标：推导秩的条件
$\operatorname{Col}(A)=\mathbb{R}^s$ 意味着 $A$ 的列向量组可以张成 $s$ 维空间，因此 $\operatorname{rank}(A)=s$。同时，$A$ 是 $s\times n$ 矩阵，秩不可能超过 $s$，故 $\operatorname{rank}(A)=s$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \dim(\operatorname{Col}(A)) = s$
提示：注意：$s$ 是行数，也是列空间的维数。
步骤 7/7
目标：总结答案
(1) 最多线性无关解的数目为 $n-r+1$。
(2) $\operatorname{rank}(A)=s$。
提示：答案需用数学符号清晰表达。
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