陕西师范大学 2024年高等代数第0题

设 $\sigma$ 有 $n$ 个互不相同的特征值 $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$，对应的特征向量分别为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$。由于特征值互异，$\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 线性无关，构成 $V$ 的一组基。

假设 $\sigma$ 的特征向量都是 $\tau$ 的特征向量，即对每个 $i$，存在 $\mu_i \in P$ 使得 $\tau(\alpha_i) = \mu_i \alpha_i$。对任意 $\alpha \in V$，可唯一表示为 $\alpha = \sum_{i=1}^n k_i \alpha_i$。计算 $\sigma\tau(\alpha)$ 和 $\tau\sigma(\alpha)$： \[ \sigma\tau(\alpha) = \sigma\left(\sum_{i=1}^n k_i \mu_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^n k_i \mu_i \sigma(\alpha_i) = \sum_{i=1}^n k_i \mu_i \lambda_i \alpha_i, \] \[ \tau\sigma(\alpha) = \tau\left(\sum_{i=1}^n k_i \lambda_i \alpha_i\right) = \sum_{i=1}^n k_i \lambda_i \tau(\alpha_i) = \sum_{i=1}^n k_i \lambda_i \mu_i \alpha_i. \] 因此 $\sigma\tau(\alpha) = \tau\sigma(\alpha)$，由 $\alpha$ 的任意性得 $\sigma\tau = \tau\sigma$。

假设 $\sigma\tau = \tau\sigma$。取 $\sigma$ 的任一特征值 $\lambda_i$ 及对应的特征向量 $\alpha_i$，有 $\sigma(\alpha_i) = \lambda_i \alpha_i$。则 \[ \sigma(\tau(\alpha_i)) = \tau(\sigma(\alpha_i)) = \tau(\lambda_i \alpha_i) = \lambda_i \tau(\alpha_i). \] 所以 $\tau(\alpha_i)$ 也是 $\sigma$ 的属于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量。

由于 $\sigma$ 的特征值 $\lambda_i$ 互不相同，每个特征值的几何重数为1（因为特征向量空间维数为1）。因此 $\tau(\alpha_i)$ 与 $\alpha_i$ 共线，即存在 $\mu_i \in P$ 使得 $\tau(\alpha_i) = \mu_i \alpha_i$。这表明 $\alpha_i$ 也是 $\tau$ 的特征向量。

综上，$\sigma$ 的特征向量都是 $\tau$ 的特征向量当且仅当 $\sigma\tau = \tau\sigma$。