陕西师范大学 2024年高等代数第0题

已知 $\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m$ 是齐次线性方程组 $AX=0$ 的一个基础解系，因此它们线性无关，且解空间的维数为 $m$。$\beta_1,\cdots,\beta_m$ 是 $\alpha_i$ 的线性组合，所以也是解向量。要使 $\beta_1,\cdots,\beta_m$ 成为基础解系，必须满足它们线性无关（因为解空间维数已经为 $m$）。

根据定义： $$\beta_1 = t_1\alpha_1 + t_2\alpha_2, \quad \beta_2 = t_1\alpha_2 + t_2\alpha_3, \quad \cdots, \quad \beta_m = t_1\alpha_m + t_2\alpha_1$$ 写成矩阵形式： $$\begin{pmatrix} \beta_1 \\ \beta_2 \\ \vdots \\ \beta_m \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} t_1 & t_2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & t_1 & t_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ t_2 & 0 & \cdots & 0 & t_1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_1 \\ \alpha_2 \\ \vdots \\ \alpha_m \end{pmatrix}$$ 记系数矩阵为 $C$，则 $\beta$ 线性无关当且仅当 $C$ 可逆。

$C$ 是 $m$ 阶循环矩阵，其特征值为 $\lambda_k = t_1 + t_2 \omega_k$，其中 $\omega_k = e^{2\pi i k/m}$，$k=0,1,\dots,m-1$。$C$ 可逆当且仅当所有特征值非零，即 $t_1 + t_2 \omega_k \neq 0$ 对所有 $k$。

情况1：若 $t_2 = 0$，则 $C = t_1 I$，可逆当且仅当 $t_1 \neq 0$。 情况2：若 $t_2 \neq 0$，则条件 $t_1 + t_2 \omega_k \neq 0$ 等价于 $\frac{t_1}{t_2} \neq -\omega_k$，即 $\frac{t_1}{t_2}$ 不能等于任何 $-1$ 的 $m$ 次单位根。注意 $-\omega_k$ 也是 $m$ 次单位根（因为 $(-\omega_k)^m = (-1)^m \omega_k^m = (-1)^m$，当 $m$ 为奇数时是 $m$ 次单位根，当 $m$ 为偶数时是 $2m$ 次单位根？实际上，$-\omega_k$ 是 $m$ 次单位根乘以 $-1$，但更准确地说，条件要求 $t_1/t_2$ 不是 $-1$ 的 $m$ 次根，即 $(-t_1/t_2)^m \neq 1$。

综上，$\beta_1,\cdots,\beta_m$ 为基础解系当且仅当 $t_1,t_2$ 不全为零，且 $t_1 + t_2 \omega_k \neq 0$ 对所有 $k=0,1,\dots,m-1$ 成立，其中 $\omega_k = e^{2\pi i k/m}$。等价地，$t_1$ 和 $t_2$ 不同时为零，且 $t_1/t_2$ 不是 $-1$ 的 $m$ 次单位根（若 $t_2=0$ 则要求 $t_1 \neq 0$）。特别地，当 $m=1$ 时，条件简化为 $t_1+t_2 \neq 0$。