陕西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
九．（15 分）设 $A$ 与 $B$ 都是 $n$ 阶正定矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 是正定矩阵的充要条件是 $\displaystyle A B=B A$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明必要性：由AB正定推出AB对称，进而推出AB=BA
若$AB$是正定矩阵，则$AB$是对称矩阵，即$(AB)^T = AB$。因为$A, B$是正定矩阵，所以$A^T = A$, $B^T = B$。于是$(AB)^T = B^T A^T = BA$，从而$AB = BA$。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：注意正定矩阵首先是对称矩阵，这是正定的定义之一。
步骤 2/7
目标：证明充分性：由AB=BA推出AB对称
若$AB = BA$，则$(AB)^T = B^T A^T = BA = AB$，故$AB$是对称矩阵。
公式：$(AB)^T = B^T A^T$
提示：对称性证明直接利用已知条件。
步骤 3/7
目标：利用A的正定性进行分解
由于$A$正定，存在可逆矩阵$P$使得$A = P^T P$。
公式：$A = P^T P$
提示：正定矩阵可以分解为$P^T P$，其中$P$可逆。
步骤 4/7
目标：利用AB=BA推导出PBP^{-1}对称
由$AB = BA$得$P^T P B = B P^T P$，两边左乘$(P^T)^{-1}$，右乘$P^{-1}$得$P B P^{-1} = (P^T)^{-1} B P^T$，即$P B P^{-1}$是对称矩阵。
公式：$P B P^{-1} = (P^T)^{-1} B P^T$
提示：注意$(P^T)^{-1} = (P^{-1})^T$，但此处直接写为$(P^T)^{-1}$。
步骤 5/7
目标：将PBP^{-1}对角化
由于$P B P^{-1}$是对称矩阵，存在正交矩阵$Q$使得$Q^T (P B P^{-1}) Q = \Lambda$为对角矩阵，且$\Lambda$的对角线元素是$B$的特征值，均为正数。
公式：$Q^T (P B P^{-1}) Q = \Lambda$
提示：正交矩阵满足$Q^T = Q^{-1}$。
步骤 6/7
目标：构造可逆矩阵R并计算R^T A R和R^T B R
令$R = P^{-1} Q$，则$R$可逆。计算$R^T A R = (P^{-1} Q)^T P^T P (P^{-1} Q) = Q^T (P^{-1})^T P^T P P^{-1} Q = Q^T Q = I$。计算$R^T B R = (P^{-1} Q)^T B (P^{-1} Q) = Q^T (P^{-1})^T B P^{-1} Q = Q^T (P B P^{-1})^{-1} Q = \Lambda^{-1}$。
公式：$R^T A R = I$, $R^T B R = \Lambda^{-1}$
提示：注意$(P^{-1})^T = (P^T)^{-1}$，且$P B P^{-1}$的逆是$(P B P^{-1})^{-1} = P B^{-1} P^{-1}$，但这里利用对称性直接得到$\Lambda^{-1}$。
步骤 7/7
目标：证明AB正定
计算$R^T (AB) R = R^T A (B R) = (R^T A R) (R^T B R) = I \cdot \Lambda^{-1} = \Lambda^{-1}$，是对角矩阵且对角线元素为正，故$AB$正定。
公式：$R^T (AB) R = \Lambda^{-1}$
提示：注意$R^T A (B R) = (R^T A R) (R^T B R)$成立是因为$R^T A (B R) = (R^T A) (B R)$，但需要$A$和$B$可交换？实际上这里利用了$R^T A R = I$，所以$R^T A = R^{-1}$，但更严谨的做法是直接计算$R^T (AB) R = (R^T A R) (R^{-1} B R)$，而$R^{-1} B R = \Lambda^{-1}$，所以结果为$\Lambda^{-1}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。