陕西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
二．（15 分）证明复数域上的多项式
$$
f(x)=x^{n}+n x^{n-1}+(n(n-1)) x^{n-2}+\cdots+(n(n-1)(n-2) \cdots 4 \cdot 3) x^{2}+(n!) x+n!
$$
没有重根．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别多项式形式
观察多项式 $f(x)=x^{n}+n x^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}+\cdots+n!x+n!$，发现其系数为 $n!$ 乘以二项式系数或阶乘比。实际上，$x^{n-k}$ 项的系数为 $n(n-1)\cdots(k+1)=\frac{n!}{k!}$，因此 $f(x)=n!\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}$。
公式：f(x)=n!\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}
提示：注意系数对应关系：$x^{n-k}$ 项系数为 $\frac{n!}{k!}$，而非 $\frac{n!}{(n-k)!}$。
步骤 2/7
目标：引入泰勒多项式
记 $e_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}$ 为指数函数 $e^x$ 的 $n$ 次泰勒多项式。则 $f(x)=n!\,e_n(x)$。
公式：e_n(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{x^{k}}{k!}
提示：泰勒多项式是截断的指数函数展开。
步骤 3/7
目标：求导数
对 $f(x)$ 求导：$f'(x)=n!\sum_{k=1}^{n}\frac{x^{k-1}}{(k-1)!}=n!\sum_{j=0}^{n-1}\frac{x^{j}}{j!}=n!\,e_{n-1}(x)$。
公式：f'(x)=n!\,e_{n-1}(x)
提示：注意求导后求和指标变化，$k$ 从1到 $n$，令 $j=k-1$。
步骤 4/7
目标：建立递推关系
由泰勒多项式定义，$e_n(x)=e_{n-1}(x)+\frac{x^n}{n!}$。
公式：e_n(x)=e_{n-1}(x)+\frac{x^n}{n!}
提示：这是泰勒多项式的递推性质。
步骤 5/7
目标：反证法假设
假设 $f(x)$ 有重根，则存在 $\alpha\in\mathbb{C}$ 使得 $f(\alpha)=f'(\alpha)=0$。即 $n!\,e_n(\alpha)=0$ 且 $n!\,e_{n-1}(\alpha)=0$，故 $e_n(\alpha)=0$ 且 $e_{n-1}(\alpha)=0$。
提示：注意 $n!\neq0$，可约去。
步骤 6/7
目标：推导矛盾
将 $e_n(\alpha)=0$ 和 $e_{n-1}(\alpha)=0$ 代入递推式：$0 = 0 + \frac{\alpha^n}{n!}$，得 $\alpha^n=0$，故 $\alpha=0$。但 $e_n(0)=1\neq0$，矛盾。因此假设不成立。
公式：\alpha^n=0 \Rightarrow \alpha=0
提示：注意 $\alpha=0$ 时 $e_n(0)=1$，与 $e_n(\alpha)=0$ 矛盾。
步骤 7/7
目标：得出结论
由于 $f(x)$ 与 $f'(x)$ 无公共根，故 $f(x)$ 在复数域上没有重根。
提示：多项式无重根的充要条件是与其导数无公共根。
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