陕西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五．（20 分）设 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)$ 是 $\displaystyle m \times n$ 阶实矩阵，证明：$n$ 元实二次型
$$
f\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right)=\left(a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}\right)^{2}+\cdots+\left(a_{m 1} x_{1}+a_{m 2} x_{2}+\cdots+a_{m n} x_{n}\right)^{2}
$$
是正定二次型的充要必要条件是 $A$ 的秩等于 $n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将二次型表示为矩阵形式
设 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T$，则二次型 $f(\mathbf{x})$ 可表示为 $f(\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x}\|^2 = (A\mathbf{x})^T (A\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x}$。因此，$f$ 的矩阵为 $A^T A$，这是一个 $n \times n$ 实对称矩阵。
公式：f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T (A^T A) \mathbf{x}
提示：注意 $A^T A$ 是实对称矩阵，这是二次型矩阵的标准形式。
步骤 2/4
目标：必要性：正定推出秩为n
若 $f$ 正定，则对任意非零向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$，有 $f(\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x}\|^2 > 0$，从而 $A\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$。这意味着齐次线性方程组 $A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有零解，故 $A$ 的列向量线性无关，即 $\operatorname{rank}(A) = n$。
提示：正定性要求对所有非零向量 $\mathbf{x}$，$f(\mathbf{x})>0$，特别地 $\mathbf{x}$ 不能使 $A\mathbf{x}=0$。
步骤 3/4
目标：充分性：秩为n推出正定
若 $\operatorname{rank}(A) = n$，则 $A$ 的列向量线性无关，从而对任意非零向量 $\mathbf{x}$，$A\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，于是 $f(\mathbf{x}) = \|A\mathbf{x}\|^2 > 0$。又 $f(\mathbf{0}) = 0$，故 $f$ 正定。
提示：注意 $\|A\mathbf{x}\|^2 \ge 0$ 恒成立，等号成立当且仅当 $A\mathbf{x}=0$。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，$f$ 正定当且仅当 $\operatorname{rank}(A) = n$。
提示：本题的关键是将二次型与矩阵的秩联系起来。
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