陕西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
八．（15 分）已知复数域上的三阶矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{lll}
2 & 0 & 0 \\
a & 1 & 0 \\
b & c & 1
\end{array}\right)
$$
求 $A$ 所有可能的 Jordan 标准形，并确定 $A$ 可对角化的条件．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求特征值
矩阵 $A$ 是下三角矩阵，其特征值为对角线元素：$\lambda_1=2$，$\lambda_2=1$，$\lambda_3=1$。特征值 $1$ 是二重的。
提示：注意下三角矩阵的特征值就是对角线元素。
步骤 2/6
目标：分析特征值2的Jordan块
考虑特征值 $2$，计算 $A-2I = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ a & -1 & 0 \\ b & c & -1 \end{pmatrix}$。该矩阵的秩为 $2$（除非 $a=b=c=0$，但一般情况），所以几何重数为 $1$，因此特征值 $2$ 的Jordan块大小为 $1$。
公式：几何重数 = 3 - rank(A-λI)
提示：几何重数等于特征子空间的维数，即齐次线性方程组解空间的维数。
步骤 3/6
目标：计算A-I的秩
计算 $A-I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ a & 0 & 0 \\ b & c & 0 \end{pmatrix}$。第一行非零，第二行是第一行的倍数（因为 $(a,0,0)=a(1,0,0)$），第三行 $(b,c,0)$。若 $c \neq 0$，则第三行有非零第二分量，与第一行线性无关，秩为 $2$；若 $c=0$，则第三行变为 $(b,0,0)$，也是第一行的倍数，秩为 $1$。因此 $\operatorname{rank}(A-I) = \begin{cases} 2, & c \neq 0 \\ 1, & c = 0 \end{cases}$。
提示：注意第三行的第二个分量c是决定秩的关键。
步骤 4/6
目标：求特征值1的几何重数
特征值 $1$ 的代数重数为 $2$，几何重数为 $\dim\ker(A-I) = 3 - \operatorname{rank}(A-I)$。当 $c \neq 0$ 时，几何重数 $=1$；当 $c = 0$ 时，几何重数 $=2$。
公式：几何重数 = 3 - rank(A-I)
提示：几何重数等于代数重数时，该特征值对应的Jordan块全为1×1。
步骤 5/6
目标：确定Jordan标准形
根据几何重数确定Jordan块：当 $c \neq 0$ 时，几何重数为 $1$，所以特征值 $1$ 对应一个 $2\times2$ Jordan块；当 $c = 0$ 时，几何重数为 $2$，对应两个 $1\times1$ Jordan块。特征值 $2$ 始终对应一个 $1\times1$ Jordan块。因此Jordan标准形为：
- 若 $c \neq 0$：$J = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
- 若 $c = 0$：$J = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
提示：Jordan块的大小等于代数重数减去几何重数再加1？实际上，对于代数重数为m的特征值，若几何重数为g，则Jordan块个数为g，每个块的大小之和为m。
步骤 6/6
目标：可对角化条件
矩阵可对角化当且仅当每个特征值的几何重数等于代数重数。对于特征值 $1$，代数重数为 $2$，几何重数为 $2$ 当且仅当 $c=0$。特征值 $2$ 的几何重数恒为 $1$ 等于代数重数。因此 $A$ 可对角化当且仅当 $c=0$，$a,b$ 任意。
提示：注意：可对角化要求所有特征值的几何重数等于代数重数，缺一不可。
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