陕西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六．（15 分）设 $\displaystyle A=\binom{A_{1}}{A_{2}}$ 是数域 $P$ 上的 $\displaystyle n(n \geq 2)$ 阶可逆分块矩阵，记
$$
W_{1}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{1} X=0\right\}, W_{2}=\left\{X \in P^{n} \mid A_{2} X=0\right\}
$$
证明：$\displaystyle P^{n}=W_{1} \oplus W_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确矩阵分块与子空间定义
设 $A = \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix}$ 是 $n \times n$ 可逆矩阵，其中 $A_1$ 是 $r \times n$ 矩阵，$A_2$ 是 $(n-r) \times n$ 矩阵。定义 $W_1 = \{ X \in P^n \mid A_1 X = 0 \}$，$W_2 = \{ X \in P^n \mid A_2 X = 0 \}$。
提示：注意 $A$ 的行分块，$A_1$ 和 $A_2$ 的行数之和为 $n$，但列数均为 $n$。
步骤 2/6
目标：证明 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$
取 $X \in W_1 \cap W_2$，则 $A_1 X = 0$ 且 $A_2 X = 0$，于是 $A X = \begin{pmatrix} A_1 X \\ A_2 X \end{pmatrix} = 0$。由于 $A$ 可逆，方程组 $A X = 0$ 只有零解，故 $X = 0$。因此 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$。
公式：$A X = 0 \Rightarrow X = 0$（$A$ 可逆）
提示：可逆矩阵的齐次线性方程组只有零解，这是关键。
步骤 3/6
目标：证明 $P^n = W_1 + W_2$：构造分解
对任意 $X \in P^n$，考虑线性方程组 $A Y = \begin{pmatrix} A_1 X \\ 0 \end{pmatrix}$。由于 $A$ 可逆，该方程组存在唯一解 $Y$。令 $Z = X - Y$。
公式：$A Y = \begin{pmatrix} A_1 X \\ 0 \end{pmatrix}$
提示：注意右端项的分块：第一块是 $A_1 X$，第二块是零向量。
步骤 4/6
目标：验证 $Z \in W_1$
计算 $A_1 Z = A_1 (X - Y) = A_1 X - A_1 Y$。由 $A Y = \begin{pmatrix} A_1 X \\ 0 \end{pmatrix}$ 知 $A_1 Y = A_1 X$，所以 $A_1 Z = A_1 X - A_1 X = 0$，即 $Z \in W_1$。
公式：$A_1 Y = A_1 X$
提示：注意 $A Y$ 的第一分块就是 $A_1 Y$。
步骤 5/6
目标：验证 $Y \in W_2$
由 $A Y = \begin{pmatrix} A_1 X \\ 0 \end{pmatrix}$ 的第二分块为 $0$，即 $A_2 Y = 0$，所以 $Y \in W_2$。
公式：$A_2 Y = 0$
提示：直接由方程组的第二分块得到。
步骤 6/6
目标：得到直和分解
于是 $X = Z + Y$，其中 $Z \in W_1$，$Y \in W_2$，故 $P^n \subseteq W_1 + W_2$。显然 $W_1 + W_2 \subseteq P^n$，所以 $P^n = W_1 + W_2$。结合 $W_1 \cap W_2 = \{0\}$，得 $P^n = W_1 \oplus W_2$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件。
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