集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{4}^{2}+2 a\left(x_{1} x_{2}+x_{1} x_{3}+x_{2} x_{3}\right)$ 正定，求 $a$ 的范围 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3,x_4)=x_1^2+x_2^2+x_3^2+4x_4^2+2a(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)$ 的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & a & a & 0 \\ a & 1 & a & 0 \\ a & a & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$。
公式：二次型矩阵元素：$a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $\frac{1}{2}x_ix_j$ 系数
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵必须对称。
步骤 2/8
目标：应用正定矩阵的判别条件
实对称矩阵正定的充要条件是各阶顺序主子式大于0。计算顺序主子式 $\Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4$ 并令其大于0。
公式：正定矩阵的充要条件：所有顺序主子式 $>0$
提示：顺序主子式是从左上角开始依次取前k行k列的子式。
步骤 3/8
目标：计算一阶顺序主子式
一阶顺序主子式 $\Delta_1 = 1 > 0$，恒成立。
提示：一阶主子式就是第一个对角元。
步骤 4/8
目标：计算二阶顺序主子式
二阶顺序主子式 $\Delta_2 = \begin{vmatrix} 1 & a \\ a & 1 \end{vmatrix} = 1 - a^2 > 0$，解得 $|a| < 1$，即 $-1 < a < 1$。
公式：二阶行列式公式：$\begin{vmatrix} p & q \\ r & s \end{vmatrix}=ps-qr$
提示：注意行列式计算符号。
步骤 5/8
目标：计算三阶顺序主子式
三阶顺序主子式 $\Delta_3 = \begin{vmatrix} 1 & a & a \\ a & 1 & a \\ a & a & 1 \end{vmatrix}$。按第一行展开：
$\Delta_3 = 1\cdot\begin{vmatrix}1&a\\a&1\end{vmatrix} - a\cdot\begin{vmatrix}a&a\\a&1\end{vmatrix} + a\cdot\begin{vmatrix}a&1\\a&a\end{vmatrix}$
$= (1-a^2) - a(a\cdot1 - a\cdot a) + a(a\cdot a - 1\cdot a)$
$= 1-a^2 - a(a - a^2) + a(a^2 - a)$
$= 1-a^2 - a^2 + a^3 + a^3 - a^2 = 1 - 3a^2 + 2a^3$。
因式分解：$\Delta_3 = (1-a)^2(1+2a)$。令 $\Delta_3 > 0$，得 $(1-a)^2 > 0$ 且 $1+2a > 0$，即 $a \neq 1$ 且 $a > -\frac{1}{2}$。
公式：三阶行列式展开公式；因式分解：$1-3a^2+2a^3=(1-a)^2(1+2a)$
提示：展开时注意符号：第二项系数为负；因式分解可用试根法。
步骤 6/8
目标：计算四阶顺序主子式
四阶顺序主子式 $\Delta_4 = \det A$。由于矩阵 $A$ 是分块对角矩阵（前三行三列与第四行四列独立），$\det A = 4 \cdot \Delta_3 = 4(1-a)^2(1+2a)$。令 $\Delta_4 > 0$，得 $(1-a)^2(1+2a) > 0$，与三阶条件相同。
公式：分块对角矩阵的行列式等于对角块行列式之积
提示：注意第四行第四列只有元素4，其余为0，可直接计算。
步骤 7/8
目标：综合条件得出a的范围
综合二阶条件 $|a|<1$ 和三阶条件 $a > -\frac{1}{2}$ 且 $a \neq 1$，取交集得 $-\frac{1}{2} < a < 1$。
提示：注意 $a=1$ 时三阶主子式为0，不满足正定；$a=-1$ 时二阶主子式为0，也不满足。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
因此，$a$ 的取值范围是 $-\frac{1}{2} < a < 1$。
提示：最终答案用区间表示。
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