集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．$f\left(k_{1} \alpha+k_{2} \beta\right)=k_{1} f(\alpha)+k_{2} f(\beta)$ ，若 $f(2,-1)=2, f(-1,2)=8$ ，则 $f(1,1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别线性映射性质
题目条件 $f(k_1\alpha + k_2\beta) = k_1 f(\alpha) + k_2 f(\beta)$ 表明 $f$ 是线性映射。对于二维向量空间，线性映射可以表示为 $f(x,y) = ax + by$，其中 $a,b$ 为待定系数。
公式：线性映射定义：$f(k_1\alpha + k_2\beta) = k_1 f(\alpha) + k_2 f(\beta)$
提示：注意线性映射必须满足加法和数乘的保持性，这里给出的条件正是线性性的体现。
步骤 2/7
目标：设出线性映射表达式
设 $f(x,y) = ax + by$，其中 $a,b \in \mathbb{R}$。
提示：线性映射在标准基下的表示是唯一的，设成一次函数形式是常见方法。
步骤 3/7
目标：代入已知条件建立方程组
已知 $f(2,-1)=2$，代入得 $2a - b = 2$。已知 $f(-1,2)=8$，代入得 $-a + 2b = 8$。
提示：代入时注意符号：$f(2,-1)$ 对应 $x=2, y=-1$。
步骤 4/7
目标：解线性方程组
解方程组 $\begin{cases} 2a - b = 2 \\ -a + 2b = 8 \end{cases}$。将第一个方程乘以2得 $4a - 2b = 4$，与第二个方程相加得 $3a = 12$，解得 $a=4$。代入第一个方程得 $2\cdot4 - b = 2$，即 $8 - b = 2$，解得 $b=6$。
公式：加减消元法
提示：解方程组时注意运算准确性，避免符号错误。
步骤 5/7
目标：写出线性映射表达式
由 $a=4, b=6$ 得 $f(x,y) = 4x + 6y$。
提示：确认系数正确后，再代入后续计算。
步骤 6/7
目标：计算目标值
求 $f(1,1)$，代入 $x=1, y=1$ 得 $f(1,1) = 4\cdot1 + 6\cdot1 = 4+6=10$。
提示：代入时注意不要混淆 $x$ 和 $y$ 的位置。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
因此 $f(1,1)=10$。
提示：最终答案应写为数值形式。
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