集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．矩阵 $A$（忘记了）与矩阵 $B=\left(\begin{array}{ccc}-1 & & \\ & b & \\ & & -1\end{array}\right)$ 相似，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知矩阵 $A$ 与对角矩阵 $B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ 相似。相似矩阵具有相同的特征值，因此 $A$ 的特征值为 $-1$（二重）和 $b$。
提示：注意特征值的重数，$B$ 的对角元即为特征值。
步骤 2/6
目标：利用相似矩阵的迹相等
相似矩阵的迹相等，即 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B)$。计算 $B$ 的迹：$\operatorname{tr}(B) = -1 + b + (-1) = b - 2$。因此 $\operatorname{tr}(A) = b - 2$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(B)$
提示：迹是主对角线上元素之和，不要漏掉符号。
步骤 3/6
目标：利用相似矩阵的行列式相等
相似矩阵的行列式相等，即 $\det(A) = \det(B)$。计算 $B$ 的行列式：$\det(B) = (-1) \cdot b \cdot (-1) = b$。因此 $\det(A) = b$。
公式：$\det(A) = \det(B)$
提示：对角矩阵的行列式等于对角元的乘积。
步骤 4/6
目标：假设矩阵A的具体形式
由于题目未给出 $A$，通常 $A$ 含有参数 $a$。假设 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，则 $\operatorname{tr}(A) = a - 2$，$\det(A) = a$。
提示：这里假设了最简单的对角形式，实际题目中 $A$ 可能更复杂，但原理相同。
步骤 5/6
目标：建立方程求解参数
由迹相等得 $a - 2 = b - 2$，即 $a = b$。由行列式相等得 $a = b$。因此 $a = b$。又因为 $A$ 的特征值应为 $-1$（二重）和 $b$，而 $A$ 的对角元 $a$ 和 $-1$ 即为特征值，故 $a = -1$，从而 $b = -1$。
公式：$a = b$，$a = -1$
提示：注意特征值 $-1$ 是二重根，因此 $a$ 必须等于 $-1$ 才能保证特征值一致。
步骤 6/6
目标：验证结果
当 $a = -1$，$b = -1$ 时，$A = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$，显然 $A = B$，相似成立。
提示：验证是确保答案正确的重要步骤。
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