集美大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
4．求行列式 $D_{n}=\left|\begin{array}{cccc}1 & \cdots & 1 & 2-n \\ 1 & \cdots & 2-n & 1 \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 2-n & \cdots & 1 & 1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察行列式结构
行列式 $D_n$ 是一个 $n$ 阶行列式，其特点是：主对角线上的元素都是 $1$，但第一行第 $n$ 列元素为 $2-n$，第二行第 $n-1$ 列元素为 $2-n$，以此类推，第 $n$ 行第 $1$ 列元素为 $2-n$。实际上，除了主对角线上的 $1$ 和一条反对角线上的 $2-n$ 外，其余元素都是 $1$。
提示：注意行列式的下标和元素分布，避免混淆。
步骤 2/4
目标：将第2至n列加到第1列
将第 $2,3,\dots,n$ 列分别加到第 $1$ 列，行列式值不变。得到新行列式，其第 $1$ 列元素变为原第 $1$ 列元素加上其他各列对应元素之和。
公式：行列式性质：将一列的倍数加到另一列，行列式值不变。
提示：注意是加列，不是加行；且只加一次，不是逐列加。
步骤 3/4
目标：计算第1列各元素的值
对于第 $i$ 行（$i=1,\dots,n$），第 $1$ 列新元素等于原第 $1$ 列元素加上第 $2$ 至 $n$ 列对应行元素之和。原第 $1$ 列元素：当 $i=1$ 时为 $1$，当 $i=n$ 时为 $2-n$，其余为 $1$。第 $2$ 至 $n$ 列中，每行有 $n-1$ 个元素，其中 $n-2$ 个是 $1$，一个是 $2-n$（位置在反对角线上）。因此，第 $i$ 行元素之和为：$(n-2)\times 1 + (2-n) = 0$。所以第 $1$ 列所有新元素均为 $0$。
提示：注意每行中 $2-n$ 出现的位置不同，但个数都是1个，其余为1。
步骤 4/4
目标：得出行列式为0
由于第 $1$ 列全为 $0$，根据行列式性质，行列式的值为 $0$。因此 $D_n = 0$。
公式：行列式有一列全为零，则行列式值为零。
提示：不要忘记行列式值为0的条件。
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